Основные понятия теории вероятностей

=1/9×1/8×1/7×2/6=1/1512. Ответ. Р(А1А2А3А4 )= 1/1512.

Следствие. Если A1A2, .,An − независимые события, то вероятность их произведения (совместного появления) равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

Р(А1А2 .Ап) = Р(А1 )× Р(А2)× . ×P(An).

Пример. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком − 0,6; вторым − 0,7. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил первый стрелок, а событие В − в том, что мишень поразил второй стрелок. По условию Р(А) = 0,6 и Р(В) = 0,7.

Рассмотрим противоположные события: − промах первого стрелка, − промах второго, получаем Р(А)=1-0,6=0,4 и Р(В)=1-0,7=0,3. Произведение событий означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи события A и В являются независимыми, поэтому и противоположные события и также будут независимыми. По следствию из теоремы получаем вероятность того, что оба стрелка промахнутся: Р(А × В)=0,4×0,3= =0,12. Нас же интересует вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. Поэтому искомую вероятность мы находим:1-0,12 = 0,88. Ответ. Р(А × В)= 0,94.

Теорема. Пусть В1, В2, .,Вп − полная группа попарно несовместных событий. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии наступления одного из событий В1,В2, .,Вn, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, то есть

Теорема. Условная вероятность любого события Вi (i=1,2,…,n) вычисляется по формуле Бейеса:

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Имеется три набора микросхем, первый из которых содержит 100, второй 300 и третий 600 микросхем. Вероятность того, что микросхема, взятая наугад из первого набора, исправна, равна 0,9, а для второго и третьего наборов − соответственно 0,85 и 0,8. Какова вероятность того, что: а) произвольно взятая микросхема исправна; б) исправная микросхема извлечена из второго набора?

Решение. а) В данном случае имеется три гипотезы, вероятности которых Р(В1)=0,1;Р(В2)=0,3;Р(В3)=0,6. Используем формулу полной вероятности:

Р(А)=Р(В1)×РВ(А)+Р(В2)×РВ(А)+Р(В3)×РВ(А)=0,1×0,9+0,3×0,85+0,6× ,8=0,825.

б) Допустим, что искомое событие А произошло − извлечена исправная микросхема. Найдем вероятность РА(В2) - микросхема извлечена из второго набора. Согласно формуле Бейеса: РА(В2)=(Р(В2)× РВ(А))/Р(А)=17/55.

Ответ. Р(А)= 0,825; РА(В2)=17/55.

Но в теории вероятностей существуют более сложные задачи, которые соответствуют так называемой схеме Бернулли. Пусть А - случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Будем считать, что испытание имеет два исхода: наступление события А и ненаступление события А (т.е. наступление .) Если производится несколько таких испытаний, причем вероятность события А в каждом из них не зависит от исходов остальных, то такие испытания называют независимыми (относительно события А). Говорят, что проводимый эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли, если:

Другое по теме:

Работа с текстом в современной начальной школе
Организацию работы по осмыслению литературного произведения М.С. Васильева, М.И Оморокова, Н.Н. Светловская представили в схеме, в основу которой положены законы восприятия произведения, психологические особенности его понимания детьми с учетом целей и средств обучения. Таблица 1. Осмысление учащим ...

Методика изучения темы «Площадь геометрических фигур» на уроках математики в начальной школе
На самом первом этапе знакомства с площадью, ее не измеряют, а находят, вычисляя по какому-то алгоритму, какой-то формуле. И уже на этом этапе учитель должен заострить внимание учащихся на том, что площадь необходимо вычислять. И действительно: до этого все могли измерять путем непосредственного ср ...

Клинико-психолого-педагогическая характеристика младших школьников с нарушениями зрения
"Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать" - гласит народная мудрость. Зрение играет огромную роль в жизни человека. Примерно 87 % информации поступает в мозг через зрительные рецепторы. Зрительный анализатор имеет три отдела: 1. Периферический — глаз: наружная (мышцы, вращающие глазн ...