Основные понятия теории вероятностей

Следовательно,

n(А) ==90-9=81 и P()=81/90=0,9.

Тогда по теореме имеем: P(A)=1- P()=0,1. Ответ. Искомая вероятность 0,1.

Условная вероятность события В (РА(В)) − вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло. Если А и В− независимые события, то РА(В) = Р(В), РВ(А) = Р(А).

Теорема. (Теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения (пересечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило, то есть

Р(АВ)= Р(А) РА(В) = Р(В) ×РВ(А).

Доказательство. Пусть n − число всех элементарных исходов испытания, т из этих исходов благоприятствуют событию А и d исходов благоприятствуют событиям А и В. Тогда, по определению вероятности события, имеем

Р(А) = m/n, P(AB) = d/n

Найдем условную вероятность РА(В) события В при условии, что событие А наступило. Событие А наступает в т исходах, а в d исходах из них наступает событие В. Следовательно, РА(В) = d/m. Так как

d/n = (m/n)(d/m), то Р(АВ)=Р(А)×РА(В)

Аналогично можно показать, что Р(АВ)=Р(В)× РВ(А). Теорема доказана.

Пример. На полке стоят 10 детективных романов и 4 научно-приключенческие книги. Какова вероятность того, что две подряд, наугад взятые книги окажутся детективами?

Решение. Рассмотрим два события В1 и В2:В1 − при первом испытании взят детектив, В2 − при втором испытании взят детектив. По теореме вероятность такого события равна Р(В1B2)=Р(В1)×РВ(В2). Вероятность события В1: Р(В1)=10/14. После первого испытания на полке останется 13 книг, из которых 3 детектива, поэтому условная вероятность РВ(В2) = 3/13. Отсюда искомая вероятность равна: Р(В1В2) =×=. Ответ. Р(В1В2)=15/91.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют при условии, что все предыдущие события уже наступили, т.е.

Р(А1А2×…× Аn) = P(A1) PA(A2 )PAA (A3 )× .× PAA…A (An ).

Пример. Из десяти карточек составлено слово "ДИСПЕРСИЯ". Из них школьник наудачу выбирает поочередно четыре карточки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово "ПЕРС".

Решение. Введем события А1,A2,A3,A4, состоящие в том, что первая выбранная буква − П, вторая − Е, третья – Р и четвертая − С. Нам нужно найти вероятность произведения этих событий. По следствию из теоремы имеем:

Р(А1А2А3А4)=Р(А1)× РА(А2)× РАА(А3)× РААА(А4)=

Другое по теме:

Формы управления ОУ, наличие органов самоуправления, их функции
В Профессионально-педагогическом колледже технологии и красоты есть орган студенческого самоуправления. Целями деятельности Студенческого совета являются: формирование гражданской культуры, активной гражданской позиции студентов, содействие развитию их социальной зрелости, самостоятельности, способ ...

Характеристика понятий «знаковое опосредствование», «совокупное действие» и «открытое действие»
Знак является следом активного поведения присутствия другого в человеке. Д.Б. Эльконин пишет «Первичные формы аффективно-смысловых образований человеческого сознания существуют объективно вне каждого отдельного человека, существуют в человеческом обществе в виде произведений искусств или в других к ...

Анализ содержания темы "Многоугольники" в школьных учебниках геометрии
В курсе геометрии 7-9 классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин характеризующих плоский многоугольник. Курс геометрии 7 класса - это, по существу, геометрия треугольника. Основное ...