Основные понятия теории вероятностей

Следовательно,

n(А) ==90-9=81 и P()=81/90=0,9.

Тогда по теореме имеем: P(A)=1- P()=0,1. Ответ. Искомая вероятность 0,1.

Условная вероятность события В (РА(В)) − вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло. Если А и В− независимые события, то РА(В) = Р(В), РВ(А) = Р(А).

Теорема. (Теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения (пересечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило, то есть

Р(АВ)= Р(А) РА(В) = Р(В) ×РВ(А).

Доказательство. Пусть n − число всех элементарных исходов испытания, т из этих исходов благоприятствуют событию А и d исходов благоприятствуют событиям А и В. Тогда, по определению вероятности события, имеем

Р(А) = m/n, P(AB) = d/n

Найдем условную вероятность РА(В) события В при условии, что событие А наступило. Событие А наступает в т исходах, а в d исходах из них наступает событие В. Следовательно, РА(В) = d/m. Так как

d/n = (m/n)(d/m), то Р(АВ)=Р(А)×РА(В)

Аналогично можно показать, что Р(АВ)=Р(В)× РВ(А). Теорема доказана.

Пример. На полке стоят 10 детективных романов и 4 научно-приключенческие книги. Какова вероятность того, что две подряд, наугад взятые книги окажутся детективами?

Решение. Рассмотрим два события В1 и В2:В1 − при первом испытании взят детектив, В2 − при втором испытании взят детектив. По теореме вероятность такого события равна Р(В1B2)=Р(В1)×РВ(В2). Вероятность события В1: Р(В1)=10/14. После первого испытания на полке останется 13 книг, из которых 3 детектива, поэтому условная вероятность РВ(В2) = 3/13. Отсюда искомая вероятность равна: Р(В1В2) =×=. Ответ. Р(В1В2)=15/91.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют при условии, что все предыдущие события уже наступили, т.е.

Р(А1А2×…× Аn) = P(A1) PA(A2 )PAA (A3 )× .× PAA…A (An ).

Пример. Из десяти карточек составлено слово "ДИСПЕРСИЯ". Из них школьник наудачу выбирает поочередно четыре карточки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово "ПЕРС".

Решение. Введем события А1,A2,A3,A4, состоящие в том, что первая выбранная буква − П, вторая − Е, третья – Р и четвертая − С. Нам нужно найти вероятность произведения этих событий. По следствию из теоремы имеем:

Р(А1А2А3А4)=Р(А1)× РА(А2)× РАА(А3)× РААА(А4)=

Другое по теме:

Специфика содержания учебного предмета «Математика»
В основе построения данного курса лежит методическая концепция, выражающая необходимость целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе усвоения математическ ...

Общая характеристика особенностей подросткового возраста
Подростковый возраст настолько своеобразен и интересен для учителя, воспитателя, что есть определенные основания рассматривать особенности этого возраста в более тесной связи с проблемами воспитания. Как уже отмечалось, успех учебно-воспитательной работы со школьниками зависит от знания и учета их ...

Классификация форм воспитательной работы применимых к воспитанию подростков
Вопрос классификации форм воспитательной работы является отнюдь не новым. Определенные основы решения этого вопроса заложены Е.В. Титовой в работе «Если знать, как действовать», интересен материал С.Д. Полякова, представленный в книге «Психопедагогика воспитания», а также наблюдения Л.В. Байбородов ...