Аксиоматика евклидовой геометрии

Современная система аксиом Евклидовой геометрии состоит из пяти групп и опирается на шесть основных неопределяемых понятия: точки, прямые и плоскости и трех видов отношений выражаемых словами «принадлежит», «между» и «движение».

Введем аксиомы, предложенные в математической энциклопедии.

принадлежности: 1.через каждые две точки можно провести прямую и при том только одну. 12. На каждой прямой лежат по крайне мере две точки. Существует хотя бы три точки не лежащие на одной прямой. 13. через каждые три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. 14. На каждой плоскости существует по крайне мере три точки и существует хотя бы четыре точки, не лежащие на одной плоскости. 15. Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 16. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

Аксиомы порядка. 21. Если точка B лежит между A и C, то все точки лежат на одной прямой. 22. Для каждых точек A, B существует такая точка C, что B лежит между A и C. 32. Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими. 42. Если прямая l пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает еще другую его сторону или проходит через вершину.

Аксиомы движения. 31 Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 32. Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 33. Если даны точки A, B и полуплоскости , , ограниченные продолженными полупрямыми a, b, которые исходят из точек A, B, то существует движение, и при том единственное, переводящее A, a, в B, b, .

группа содержит 2 аксиомы непрерывности 41 Аксиома Архимеда. Всякий отрезок AB можно перекрыть меньшим отрезком откладывая его на AB достаточное количество раз; откладывание отрезка осуществляется движением. 42 Аксиома Кантора. Если дана бесконечная последовательность вложенных отрезков AnBn, то существует, и при том единственная, точка c принадлежащая всем отрезкам AnBn.

группа содержит одну аксиому параллельности. Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную, т.е. не более одной прямой параллельной данной ( в современная формулировка Ламперта).

С помощью основных понятий евклидовой геометрии определяются все другие ее понятия, Все предложения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть выводимы только логически из этих аксиом. Система аксиом евклидовой геометрии обладает свойством полноты и непротиворечивости. Если в аксиоматике евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на ее отрицание, то полученная новая система аксиом (система аксиом геометрии Лобачевского) тоже будет не противоречива. Получается, что аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом евклидовой геометрии.

В «Началах» Евклида содержится описание основных объектов как абстракций от реальных предметов окружающего мира. Однако объекты, удовлетворяющие системе аксиом евклидовой геометрии, допускают бесчисленное множество интерпретаций.

Другое по теме:

Применение игр в формировании грамматического навыка
Эффективным приемом работы в становлении грамматического навыка являются игры, которые одновременно способствуют развитию речевой деятельности обучающихся. Учащиеся применяют осваиваемый языковой материал в ситуациях, характерных для окружающей их действительности. Существует множество методических ...

Особенности организации учебной деятельности одаренных студентов
Ориентация на талантливых студентов предполагает разработку системы мер для оптимизации организационных условий образовательного процесса, что в свою очередь требует выявления отношений одаренных студентов к различным сторонам организации образовательной деятельности. Одаренные студенты привержены ...

Реализация методических рекомендаций по обучению прикидке и оценке результатов вычислений в 5- 6 классах
Фрагмент урока №1 Класс : шестой Тема : «Умножение положительных и отрицательных чисел» Тип урока : закрепление нового материала Цель фрагмента : на основе правил сравнения и умножения положительных и отрицательных чисел без вычислений, путем рассуждений (экономя тем самым время), выполнять задания ...