Основные понятия теории вероятностей

Каждому событию А поставим в соответствие число Р(А) (его вероятность) так, что выполняются следующие свойства:

а) для всякого АS, справедливо: P(A) 0;

б) Р()=1;

в) если А и В несовместны (АВ = Ø ), то Р(А + В) = P(A) + P(В).

Тройка (, S, Р) называется вероятностным пространством.

Рассмотрим теоремы, которые образуют группу с общим названием «теоремы сложения».

Теорема. Пусть А и В – два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Доказательство. Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а1,а2,…,аm, а для события В – через b1,b2,…,bn. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p1,p2,…,pm и q1,q2,…,qn. Тогда событию A+B благоприятны все исходы a1,a2,…,am , b1,b2,…,bn. В силу того что события А и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность события А+B равна сумме вероятностей этих исходов:

P(A+B)=p1+p2+…+pm+q1+q2+…+qn. Но p1+p2++pm=P(A),

q1+q2++qn=P(B), поэтому P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема доказана.

Если события А1,А2,…,Аn попарно несовместны, то событие A1+A2++An-1 несовместно с событием An .

Следствие. Если события А1,A2,…, Аn попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+ P(A2)++P(An).

Доказательство. Как было отмечено выше, события A1+A2+…+An-1 и An несовместны, а потому имеем:

P(A1+A2+…+An-1+An)=P(A1+A2+…+Аn-1)+P(An).

Применяя это же рассуждение к 1-ому слагаемому и продолжая далее, после n-1 шага, имеем:

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+ P(A2)+…+P(An).

Пример. В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого – либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша, и через В - вещевого, то из определения вероятности следует P(A)=120/1000=0,12; P(B)=80/1000=0,08. Интересующее нас событие представляет AUB, поэтому из теоремы сложения вытекает:

P(AUB)=P(A)+P(B)=0,2.

Таким образом, вероятность какого – либо выигрыша равна 0,2. Ответ. P(A+B)= 0,2.

Рассмотрим связь между вероятностями противоположных событий.

Теорема. Для любого события А имеем:

P()=1- P(A).

Доказательство. Для доказательства вспомним, что A+=Ω, P(Ω)=1 и A. Тогда по теореме получаем:

1=P(Ω)=P(A+)=P(A)+P(),

откуда следует требуемая формула.

Пример. Берётся наудачу натуральное трехзначное число от 10 до 99. Какова вероятность того, что две его цифры совпадают?

Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирается натуральное число от 10 до 99 и определяется, есть ли у него совпадающие цифры. События «взяли наудачу число N» (N=10,11,…,99) равновероятны (в этом смысл слова «наудачу») и образуют множество исходов этого опыта. Число исходов n=90. Нас интересует событие А − «у выбранного числа совпадают две цифры». Проще, однако, подсчитать вероятность противоположного события - «у выбранного числа все цифры различны». Каждое такое число есть размещение без повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль.

Другое по теме:

Восприятие и память у младенцев
Из всех органов чувств главнейшее значение для человека имеет зрение. Оно первым начинает активно развиваться в самом начале жизни. Уже у месячного ребенка можно зафиксировать следящие движения глаз. Сначала такие движения осуществляются в основном в горизонтальной плоскости, потом появляется слеже ...

Проблема исследования творчества
Творчество выступает одним из важнейших факторов коренных преобразований определенных логически, предметно или художественно- связанных объектов либо состояний и последующего замещения их качественно другими, прежде неизвестными. Его фундаментальной особенностью является движение к обретению челове ...

Формы представления алгоритма
Алгоритм должен быть формализован по некоторым правилам посредством конкретных изобразительных средств. К ним относятся следующие способы записи алгоритмов: словесный, формульно-словесный, графический, язык операторных схем, программа (алгоритмический язык). Словесный способ представления несложен, ...