История возникновения и развития комбинаторики и теории вероятностей

Подсчёт всех возможных и благоприятствующих данному событию случаев нередко представляет большие трудности. Вот почему для решения таких задач некоторые игроки обращались к крупным учёным. Х.Гюйгенсу был задан такой вопрос: «Если бросить одновременно три игральных кости, то какая сумма очков будет выпадать чаще − 11 или 12?» Подсчёт всех различных случаев здесь прост: N=63=216, но сумма 11 может получиться следующими шестью различными способами: 1+4+6, 1+5+5, 2+3+6, 2+4+5, 3+3+5, 3+4+4. Также шестью различными способами образуется сумма 12: 1+5+6, 2+4+6, 2+5+5, 3+3+6, 3+4+5, 4+4+4. Это обстоятельство наводит на мысль, что обе суммы должны появляться одинаково часто. Однако это не так. Было замечено, что сумма 11 появляется чаще суммы 12. Дело в том, что вышеуказанные суммы по три числа сами по себе неодинаково часто выпадают. Так, если каждую из трех костей окрасить по-разному, скажем, в белый, красный и зелёный цвет, то становится ясным, что сочетание, в котором имеются три различных слагаемых, например (1+4+6), может получаться шестью различными способами:

1) 1 бел. + 4 красн. + 6 зел.; 2) 1 бел. + 6 красн. + 4 зел.;

3) 4 бел. + 1 красн. + 6 зел.; 4) 4 бел. + 6 красн. + 1 зел.;

5) 6 бел. + 1 красн. + 4 зел.; 6) 6 бел. + 4 красн. + 1 зел.

Аналогично сочетание с двумя одинаковыми слагаемыми, например (2+5+5), может получиться тремя различными способами, в то время как сочетания с одинаковыми слагаемыми, вроде (4+4+4), получается единственным способом. И вот для 11 очков мы получим, таким образом, не шесть различных способов, а 1×6 + 1×3 + 1×6 + 1×6 + 1×3 + 1×3 = 27. Аналогично, для суммы же 12 число различных способов будет равно 25.

Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Б.Паскалю, П.Ферма, Х.Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей. Азартные игры стали для ученых удобной моделью для решения задач и анализа понятий данной теории. Об этом говорил ещё Х.Гюйгенс в своей книге «De ratiociniis ludo alleae» («О расчётах в азартной игре», 1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: «При внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной науки». Х.Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие в трудах Д. Бернулли, Даламбера и др. На развитие теории вероятностей оказали серьёзное влияние потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в XVI в.

Таким образом, в 60-е годы XVII в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей.

Следующий этап истории теории вероятностей (XVIII − начало XIX вв.) связан, главным образом, с именами французских математиков А.Муавром (1667 − 1754), П.Лапласом (1749 − 1827), С.Пуассоном (1781 − 1840) и А.Лежандром (1752 − 1833) и немецкого математика К.Гаусса (1777 − 1855). «Аналитическая теория вероятностей» П.Лапласа считается классическим трудом по данному разделу математики. В это время в теории вероятностей, кроме понятия случайного события, рассматривается и понятие случайной величины. Теория вероятностей начала применяться в теории ошибок измерений, теории стрельбы и т.п.

В конце XVIII в. немецкий ученый Гинденбург и его ученики сделали даже попытку построить общую теорию комбинаторного анализа. Однако она не увенчалась успехом – в то время еще не было накоплено достаточного количества важных и интересных задач, которые могли бы дать необходимый фундамент для такой теории.

В середине XIX в. преподаватель Высшей реальной школы города Брюнн Г.И.Мендель производил опыты с горохом, в результате которых были открыты законы наследственности. Ученый скрестил два сорта гороха с жёлтыми и зелёными семенами, после чего растения дали только желтые семена (первое поколение гибридов). После самоопыления растений, выращенных из этих семян (второе поколение гибридов), появился горох и с жёлтыми, и с зелёными семенами. Мендель подсчитал, что отношение числа растений с жёлтыми семенами к числу растений с зелеными семенами равно 3,01. Механизм наследования так же случаен, как и исход бросания монеты или игральной кости.

В ХХ веке произошло строгое логическое обоснование теории вероятностей советским математиком А.Н.Колмогоровым.

Современный период истории теории вероятностей характеризуется возникновением и развитием многих новых областей и направлений. Наряду с понятием случайного события и случайной величины рассматриваются и играют наиболее существенную роль понятия случайной функции и случайного процесса. Круг применения теории вероятностей в различных областях науки и техники расширился настолько, что сейчас ее по праву можно считать одной из наиболее прикладных частей математики. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях техники и естествознания: в теории надёжности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках.

Другое по теме:

Функции проверки и оценки результатов обучения в учебном процессе
Важным компонентом работы учителя является его проверочно- оценочная деятельность. В настоящее время выделяют четыре основные функции проверки и оценки знаний и умений учащихся: Информационная; Диагностическая; Обучающая; Воспитательная. Информационная функция позволяет учителю вести систематически ...

Система упражнений комбинаторного характера
Обучение решению комбинаторных задач проходит в три этапа, которые описаны во второй главе. На 1 этапе могут быть предложены следующие задачи. У Маши было 3 цветка: фиалка, нарцисс и тюльпан. Она выкопала три лунки. Нарисуй, как по-разному можно посадить эти цветы, если лунки расположены в один ряд ...

Выявление уровня активности подростка
Мы постоянно сравниваем себя с другими людьми и на основе этого сравнения вырабатываем мнение о себе, о своих возможностях и способностях, чертах своего характера и человеческих качествах. Так постепенно складывается наша самооценка. Но зачастую взрослые забывают, что процесс этот начинается уже в ...