Новая педагогика » Межпредметные связи физики и музыки » Колебания скрипичной струны

Колебания скрипичной струны

Страница 1

Теория колебания струны, возбуждаемой действием смычка, довольно сложна, однако основные моменты этой теории были выяснены Гельмгольцем. Поскольку высота тона оказывается соответствующей собственной частоте струны, колебания могут, в известном смысле, считать «свободными», функция смычка заключается в поддерживании движения путём сообщения струне энергии. В скрипке и других инструментах, у которых струны сделаны из лёгкого материала и опираются на подставку, укреплённую на поверхности, очень легко приводимой в движение (крышка резонансной полости), потери энергии могут быть относительно велики. Действие смычка состоит в том, что благодаря трению, он в течение некоторого времени увлекает за собой струну, затем струна отрывается от смычка и отходит назад под действием собственной упругости; после некоторого промежутка времени смычок снова захватывает струну и ведёт её вперёд и т.д., причём полный цикл занимает период свободного колебания.

Чтобы получить данные для материального исследования, Гельмгольц начал с экспериментального изучения характера колебаний в различных точках. Период колебаний наблюдаемой точки слагается из двух промежутков времени, обычно неравной длительности, в течении которого точка движется взад и вперёд, соответственно, с постоянными, но, вообще говоря, неравными скоростями. Далее, установлено, что отношение обоих промежутков времени равно отношению двух отрезков, на которые струна делится в этой точке. Эти результаты подтверждены исследованиями в результате которых получили временной график зависимости пути, проходимого точкой, более непосредственным способом. Для получения чётких кривых следует принять некоторые меры предосторожности. Многое зависит от умелого пользования смычком и от качества инструмента. Чтобы избежать неудачных искажений графика, смычок должен касаться струны в узле одной из гармоник, а наблюдаемая точка должна находиться в другом узле той же гармоники. За исключением тех двух моментов, в каждом периоде, когда происходит внезапное изменение скорости, ускорение наблюдаемой точки равно нулю. Из уравнения

¶2y/¶t2=V2¶2y/¶x2 (6.1)

следует, что вблизи P кривизна струны должна быть равна нулю, и, значит, в любой момент форма, принимаемая струной, составлена из прямых отрезков. Оказывается, что можно удовлетворить всем условиям задачи, предположив, что форма струны всегда состоит из двух таких отрезков, пересекающихся в некоторой переменной точке Q.

Пусть на рис.1 AB=L –невозможное положение струны и пусть a= AN и b=NQ.

Уравнение обоих участков струны будут:

y1=bx/a (6.2)

y2=b(L-x)/(L-a) (6.3)

и разность между скоростями точек, лежащих вблизи точки Q по обе стороны от неё равна:

y'1 - y'2= - Lba'/a(L - a) (6.4)

_ A Q

_

_

N B

Рис. 1

За время dt, точка Q проходит участок струны a'dt, так что скорость массы ra'dt на приведённую выше величину. Это есть результат возбуждения поперечной силы

Py'2- Py'1 = - PLb/a(L-a) (6.5)

где P –натяжение, действующее в течение времени dt.

Приравнивая изменение количества движения импульсу силы, находим

a2 =P/r=V2 (6.6)

Точка Q разрыва наклона струны должна перемещаться направо и налево со скоростью c. Предположим, что точка Q начинает своё перемещение из A в момент t=0 и что b вначале положительно. Наблюдения Гельмгольца показали, что скорость в точке x, а именно

y'2=(L – x) d/dt (b/(L - a))=(L - x)c d/da(b/(L - a)) (6.7)

постоянна в течение промежутка времени x/c, откуда

b=ca(L- a) (6.8)

аддитивная постоянная отсутствует, т.к. b должна обращаться в нуль вместе с a. Это уравнение дуги параболы, проходящей через точки A и B. Поэтому все условия задачи будут удовлетворены, если предположить, что точка Q движется взад и вперёд вдоль двух таких дуг со скоростью c так, как это показано на рис.1. Подставляя значение максимального смещения b0, получим

C=+-4b0/L2 (6.9)

и уравнение обоих участков струны в любой момент времени имеет вид

y1=4b0(L - a)x/L2 (6.10)

y2=4b0(L - x)a/L2 (6.10')

Остаётся разложить это колебание на его гармонические составляющие, что даёт следующий результат:

y=8b0/p2 S½sin(spx/L)sin(s(pct/L) (6.11)

где суммирование производится по всем целым положительным значениям s.

Наиболее простой случай вынужденных колебаний осуществляется путём сообщения струне в некоторой точке (x=a) заданного гармонического движения

y=bcos(Pt+a) (6.12)

Участки струны по обе стороны от этой точки следует рассматривать отдельно. Решениями будут

y1=sin(Px/c)bcos(Pt+a)/sin(Pa/c) [0<x<a] (6.13)

y2=sin(P(L-x)/c)bcos(Pt+a)/sin(P(L-a)/c) [a<x<L] (6.13')

т.к. они удовлетворяют общему дифференциальному уравнению (6.1) для x=0 и x=L дают y1=0 и y2=0, а для x=a сводятся к (6.12). Амплитуды y1 и y2 сильно возрастают, вследствие малости знаменателя, когда Pa/c или P(L-a)/c приблизительно равны величине, кратной p, т.е. когда период вынужденных колебаний 2p/P приблизится к периоду собственных колебаний струны длиной a или (L-a) соответственно. Чтобы получить для этих случаев результат, имеющий практическое значение, следует учесть диссипативные силы.

Страницы: 1 2


Другое по теме:

Взаимосвязь дидактических принципов обучения
Дидактические принципы связаны друг с другом. Применять эффективно какой-нибудь принцип можно лишь в том случае, если одновременно при этом принимать во внимание все другие принципы. Так, принцип научности сам по себе не вызывает сомнений. Чем выше уровень обучения, тем лучше, успешнее, результатив ...

Модель четырёхлетнего начального образования в РФ
Непрерывное образование понимается как связь, согласованность и перспективность всех компонентов системы на каждой ступени образования для обеспечения преемственности в развитии ребёнка. Внедрённая в настоящее время концепция четырёхлетнего начального образования, являющаяся обобщением многолетних ...

Оценивание работы учеников в Германии
Изменения обучения в начальной школе связаны с новым пониманием того, что является благоприятным для обучения и как оценивать работу учеников. Теперь фокус делается на поддержке каждого отдельного ученика в раскрытии всех своих возможностей, руководствуясь требованиями образования в данном классе. ...

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.edubrilliant.ru