Практические задачи приводящие к линейной целевой функции

Рассмотрим нахождение экстремума линейной функции на примере:

Построим допустимую область. Теперь начнем изображать прямые вида

Пусть, например, L=2. Тогда прямая проходит через точки (2,0) и (0,1) и изображена на рис. 8. Будем теперь увеличивать L. Тогда прямая начнёт двигаться параллельно самой себе в направлении, указанном стрелкой. Легко догадаться, что максимальное значение L получится тогда, когда прямая пройдет через вершину многоугольника, указанную на рисунке, и дальнейшее увеличение L приведет к тому, что прямая выйдет за пределы многоугольника и её пересечение с допустимой областью будет пустым. Выделенная вершина лежит на пересечении прямых и поэтому имеет координаты . Это и есть решение нашей задачи, т.е. есть оптимальный план задачи (1.41). При этом значение целевой функции , что и дает её максимальное значение. Обратите внимание на то, что оптимальный план, как правило, соответствует какой-то вершине многоугольника, изображающего допустимую область. И лишь в том случае, когда прямая случиться так, что решение не будет единственным. Но и в этом случае вершины, соответствующие границам этой стороны, дают оптимальные планы нашей задачи линейного программирования. Таким образом, вершины допустимой области играют в решении задач линейного программирования особую роль.

Ну, а если допустимая область неограничена, то и значение целевой функции может быть неограниченным.

Подводя итог этим примерам, можно сформулировать следующие положения:

1.Допустимая область - это выпуклый многоугольник;

2.Оптимум достигается в вершине допустимой области (если допустимая область ограничена и не пуста);

3.Ограниченность целевой функции в допустимой области является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи.

Задачи решаемые с помощью целевой функции графическим способом[1]:

№1)Задача на использование сырья.

Некоторое производство выпускает продукцию двух видов: . Изготовляется эта продукция из четырех видов сырья: S1, S2, S3 и S4. Запас сырья и расход его на единицу каждого вида продукции задается Таблицей

Доход производства от единицы равен 7 денежным единицам, а от единицы — 5. Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы доход производства был наибольшим?

№2)Задача о пашне.

Колхоз намерен выделить под кормовые культуры 100 га пашни. Эту пашню предположено занять кукурузой и свеклой, причем свеклой решено занять не менее 40 га. Требуется установить, как должна быть распределена площадь пашни по культурам, чтобы получилось наибольшее число кормовых единиц. При этом должно быть учтено следующее: 1 ц кукурузного силоса содержит 0,2 ц кормовых единиц, 1 ц свеклы — 0,26 ц кормовых единиц, на возделывание 1 га кукурузного поля необходимо 38 человеко-часов труда механизаторов и 15 человеко-часов ручного труда, а 1 га, занятого свеклой, соответственно — 43 и 185, ожидаемый урожай кукурузы 500 ц с 1 га, а свеклы — 200 ц с 1 га, и, наконец, всего на возделывание кормовых культур колхоз может выделить 4000 человеко-часов труда механизаторов и 15 000 человеко-часов ручного труда.

№3) Деталь некоторой машины изготовляют два цеховых участка А и В. Производственные возможности этих участков характеризуются следующими данными (табл. 7). Разработать наиболее оптимальный план изготовления этой детали участками А и В.

Другое по теме:

Роль и место темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии
В курсе геометрии VII-IX классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин, характеризующих плоский многоугольник. В решении задач на многоугольники находят применение различные методы. С ...

Теоретические основы раздела «Алгоритм и исполнители»
Изучение раздела «Алгоритмы и исполнители» обычно начинается с исторической справки. Появление алгоритмов связано с именем математика Аль Хорезми, который сформулировал правила выполнения арифметических действий. Первоначально под алгоритмом понимали только правила выполнения четырех арифметических ...

Значение языковых и речевых игр при изучении иностранного языка
Выявление структуры речевых умений, определяющих готовность учащихся к самостоятельному решению учебных и практических задач, связанных с владением иностранным языком, стало основой перехода к конструированию системы учебных игр, способной обеспечивать эффективное и качественное формирование и разв ...