Практические задачи приводящие к линейной целевой функции

Рассмотрим нахождение экстремума линейной функции на примере:

Построим допустимую область. Теперь начнем изображать прямые вида

Пусть, например, L=2. Тогда прямая проходит через точки (2,0) и (0,1) и изображена на рис. 8. Будем теперь увеличивать L. Тогда прямая начнёт двигаться параллельно самой себе в направлении, указанном стрелкой. Легко догадаться, что максимальное значение L получится тогда, когда прямая пройдет через вершину многоугольника, указанную на рисунке, и дальнейшее увеличение L приведет к тому, что прямая выйдет за пределы многоугольника и её пересечение с допустимой областью будет пустым. Выделенная вершина лежит на пересечении прямых и поэтому имеет координаты . Это и есть решение нашей задачи, т.е. есть оптимальный план задачи (1.41). При этом значение целевой функции , что и дает её максимальное значение. Обратите внимание на то, что оптимальный план, как правило, соответствует какой-то вершине многоугольника, изображающего допустимую область. И лишь в том случае, когда прямая случиться так, что решение не будет единственным. Но и в этом случае вершины, соответствующие границам этой стороны, дают оптимальные планы нашей задачи линейного программирования. Таким образом, вершины допустимой области играют в решении задач линейного программирования особую роль.

Ну, а если допустимая область неограничена, то и значение целевой функции может быть неограниченным.

Подводя итог этим примерам, можно сформулировать следующие положения:

1.Допустимая область - это выпуклый многоугольник;

2.Оптимум достигается в вершине допустимой области (если допустимая область ограничена и не пуста);

3.Ограниченность целевой функции в допустимой области является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи.

Задачи решаемые с помощью целевой функции графическим способом[1]:

№1)Задача на использование сырья.

Некоторое производство выпускает продукцию двух видов: . Изготовляется эта продукция из четырех видов сырья: S1, S2, S3 и S4. Запас сырья и расход его на единицу каждого вида продукции задается Таблицей

Доход производства от единицы равен 7 денежным единицам, а от единицы — 5. Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы доход производства был наибольшим?

№2)Задача о пашне.

Колхоз намерен выделить под кормовые культуры 100 га пашни. Эту пашню предположено занять кукурузой и свеклой, причем свеклой решено занять не менее 40 га. Требуется установить, как должна быть распределена площадь пашни по культурам, чтобы получилось наибольшее число кормовых единиц. При этом должно быть учтено следующее: 1 ц кукурузного силоса содержит 0,2 ц кормовых единиц, 1 ц свеклы — 0,26 ц кормовых единиц, на возделывание 1 га кукурузного поля необходимо 38 человеко-часов труда механизаторов и 15 человеко-часов ручного труда, а 1 га, занятого свеклой, соответственно — 43 и 185, ожидаемый урожай кукурузы 500 ц с 1 га, а свеклы — 200 ц с 1 га, и, наконец, всего на возделывание кормовых культур колхоз может выделить 4000 человеко-часов труда механизаторов и 15 000 человеко-часов ручного труда.

№3) Деталь некоторой машины изготовляют два цеховых участка А и В. Производственные возможности этих участков характеризуются следующими данными (табл. 7). Разработать наиболее оптимальный план изготовления этой детали участками А и В.

Другое по теме:

Учет психолого-педагогических особенностей учащихся на младшем этапе
Игра – пространство «внутренней социализации» ребенка, средство усвоения социальных установок Л.С. Выгодский. Мир игр огромен. Дети познают и решают проблемы жизни через игру, наполненною красотой, фантазиями, познаниями игра дает детям коммуникативно-познавательные умения, развивает их критическое ...

Спектр педагогических профессий в современном мире
В настоящее время в сфере образования наблюдается достаточно устойчивая тенденция к внутрипрофессиональной дифференциации. Как следствие данного процесса значительно расширяется спектр педагогических профессий, появляются новые педагогические специальности – «вид деятельности в рамках данной профес ...

Подвижные игры и игры с элементами соревнования
Успей поймать. Играющие (5-6 детей) стоят в небольшом кругу, у каждого в руках мяч и камешек. Подбросив мяч, надо выбежать из круга, положить как можно дальше от него камешек на землю и, вернувшись в круг, успеть поймать мяч, отскочивший от земли. Кто сумеет положить камешек дальше всех и при этом ...