Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения

Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ). Можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2 , которое можно считать значением aα.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax (, ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают logab, т.е. alogab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом () и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. loga1=0

2. logaa=1

3. logaxy= logax+ logay

4. logax/y= logax- logay

5. logaxp= plogax

При доказательстве используется основное логарифмическое тождество:

x=alogax; y=alogay

Рассмотрим доказательство 3:

xy=alogax a logay=alogax+logay т.е. xy=alogax+logay=alogaxy, ч.т.д.

Основные свойства логарифма широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы.

№497 (Алгебра и начала анализа, 10-11)

Найти , если:

т.е. равны основания логарифмов, равны значения логарифмов равны логарифмируемые выражения. Этот прием рассуждения в дальнейшем будет применим при решении простейших логарифмических уравнений.

Другое по теме:

Дидактические игры
Дидактические игры – игры с готовыми правилами, которые используется как средство развития познавательной активности детей и подростков. У каждой науки, учебного предмета есть своя занимательная сторона, есть большое количество игр и игровых форм. Есть игры, включающие познавательные элементы неско ...

Современные зарубежные дидактические системы
Современные дидактические системы, основываясь на достижениях и ошибках прошлого, выдвигали новые концепции, которые должны были решить основную задачу обучения. Современную дидактику, принципы которой лежат в основе практической педагогической деятельности, характеризуют следующие особенности: Мет ...

Структура непрерывного образования
В структуре непрерывного образования можно выделить две подсистемы: основное и дополнительное образование. В свою очередь, основное и дополнительное образование может быть общим и профессиональным. Следовательно, получается четыре подсистемы образования: основное общее, основное профессиональное, д ...