Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Методы и средства стимулирования мотивации учения
Когда ребенок приходит в школу, мотив его деятельности часто свободен от содержания учебной деятельности. Он может исполнять указания учителя из чувства несвободы вдали от мамы, из игрового мотива и др. Лишь постепенно учитель и семья подводят ребенка к пониманию того, что ученье должно осуществлят ...

Развитие движений руки
Специалисты, изучающие детей с общим недоразвитием речи (Р.Е.Левина, Г.В.Чиркина, Т.Б.Филичева, Т.В.Туманова И другие); отмечают необходимость комплексного подхода к обучению и воспитанию детей с речевой патологией. Организация специализированных "Детских садов по данному направлению обнаружил ...

Сущность нарушения при детском церебральном параличе
ДЦП — это группа двигательных нарушений, возникающих при поражении двигательных систем головного мозга и проявляющихся в недостатке или отсутствии контроля со стороны ЦНС за функционированием мышц. При ДЦП резко нарушено взаимодействие между двигательными и сенсорными системами, между звеньями само ...