Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Игры на уроках лексики и фразеологии. Многозначность слова
Во вступительной беседе следует кратко рассказать о многозначности (полисемии), которая придаёт чрезвычайную яркость и выразительность русской лексике. Многозначность слова – это его способность употребляться в разных значениях. Поскольку значение слова можно определить только в связи с другими сло ...

Вектор саморазвития личности и проблема исследования личностной идентичности
Самоидентификация определяется как самооценка собственных личностных свойств и потенций в качестве деятельного субъекта, включая физические, нравственные и психологические качества, отраженные в самосознании личности. В процессе онтогенеза, происходит формирование самотождественности личности, дост ...

Система образования Франции
В послевоенных конституциях подтверждается принцип, что «нация должна гарантировать равный доступ детей и взрослых к образованию, профессиональному обучению и культуре; предоставление бесплатного светского общедоступного образования на всех уровнях должно быть обязанностью государства». Однако обра ...