Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Комплекс упражнений для обучения учащихся стратегиям идентификации слова в процессе чтения иноязычных текстов
В том случае, когда в языковой учебный процесс включаются уроки с использованием научно-популярного текста для ознакомительного чтения, аудиторная работа, направленная на самостоятельное понимание (а также на обучение приемам − стратегиям − понимания) текста учащимся, должна быть опреде ...

Психолого-педагогические основы игровых технологий
Сущность подготовки студентов к использованию игровых технологий мы рассматривали, опираясь на концепцию профессионально-педагогической подготовки, разработанную А.А. Орловым. Профессионально- педагогическая подготовка будущих учителей в рамках этой концепции понимается как процесс и результат осво ...

Физика колебаний. Свободные колебания
Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое возмущение и предоставленное самому себе, после этого совершает колебания. Хотя такие свободные колебания сами по себе редко используются в технике, знакомство с ними необходимо, поскольку их роль в колебательном процессе чрезвычайно ва ...