Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Методика составления тестов
В государственном образовательном стандарте по иностранному языку чтение является доминирующим видом речевой деятельности и в качестве ведущего коммуникативного умения оно выступает в трех его видах: с пониманием основного содержания, с полным пониманием и с извлечением выборочной (нужной или интер ...

Психолого-педагогические проблемы неуспеваемости младших школьников в учебной деятельности
Младший школьник как субъект учебной деятельности сам развивается и формируется в ней, осваивая новые способы анализа (синтеза), обобщения, классификации. В условиях целенаправленного развивающего обучения, по В.В.Давыдову, это формирование осуществляется быстрее и эффективнее за счет системности и ...

Происхождение аксиоматического метода
С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служили неисчерпаемым источником абсолют ...