Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Интерактивные технологии коррекционного обучения детей с особыми нуждами
Первая отечественная попытка внедрения компьютерных технологий в обучение разных категорий детей с выраженными отклонениями в развитии, обучающихся в специальных школах страны, была осуществлена в рамках Проекта Гособразования СССР и корпорации IBM «Нетрудоспособные дети и инвалиды» в 1989 - 1991 г ...

Психолого-педагогическая поддержка одаренной учащейся молодежи
- Проектирование содержание, технологии обучения, оценки, достижений достижений учащихся для системы дистанционного обучения в профильных классах по математике, информатике, истории, химии, географии; - усиление направленности деятельности студенческого самоуправления на воспитание высоконравственн ...

Компоненты вычислительной культуры
Трудно, а может быть даже невозможно дать исчерпывающее определение музыкальной культуры индивидуума или его культуры мышления, да и вообще понятие культуры вряд ли поддается однозначному определению. Можно лишь попытаться выделить те элементы, наличие которых является необходимым признаком культур ...