Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Сущность понятия «речевые умения»
Поскольку объектом работы является процесс развития речевых умений, в первую очередь необходимо рассмотреть и сравнить определения «речевых умений». Зимняя И.А. определяет умения как способы успешного выполнения действий, опирающихся на знания; способность человека выполнять какую-либо деятельность ...

Сюжетное рисование в дошкольном возрасте: его особенности и значение
Основная цель сюжетного рисования – научить ребенка передавать свои впечатления об окружающей действительности. Известно, что все окружающие предметы находятся в определенной связи друг с другом. Отношение к какому-либо предмету или явлению во многом зависит от понимания именно этой связи. Возможно ...

Уровень развития предпосылок учебной деятельности у детей подготовительной к школе группы детского сада
Наше исследование проводилось на базе ДОУ №10, Белгородского района, с. Таврово. В исследовании принимали участие дети подготовительной к школе группы 18 человек: 1. Асинов Руслан 2. Безотечество Влад 3. Бузова Алина 4. Вилькис Ромас 5. Дёрина Кристина 6. Зеленский Фёдор 7. Каменев Фёдор 8. Коломыч ...