Новая педагогика » Содержательный анализ массовых школьных учебников по геометрии как форма методической и учебно-методической работы » Особенности современного аксиоматического подхода

Особенности современного аксиоматического подхода

Страница 3

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Страницы: 1 2 3 


Другое по теме:

Категории

Copyright © 2024 - All Rights Reserved - www.edubrilliant.ru