Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Системы высшего образования в некоторых других странах. Нидерланды
Высшее образование в Нидерландах можно получить в колледже (hogescholen), университете или Открытом университете (вечернее или заочное обучение). В стране действуют 13 университетов (самый старый университет Нидерландов – Лейденский, основанный еще в 1575) и Открытый университет для взрослых. Высше ...

Общее понятие о культурной форме и функция учителя как посредника
Предельный контекст анализа и проектирования образовательных ситуаций описывается схемой трансляции культуры. Эта схема сама по себе двойственна. С одной стороны, она описывает "максимальный" контекст, рассматривая образование даже не просто как исторически развивающийся социокультурный и ...

Приёмы формирования фонетико- фонематической стороны речи
В своей работе мы использовали следующие приемы логопедической работы: Массаж. - Дифференцированный логопедический массаж (для ослабления проявления расстройств иннервации мышц речевого аппарата). Расширяя возможности движений речевых мышц, можно рассчитывать на лучшее спонтанное включение этих мыш ...