Особенности современного аксиоматического подхода

В настоящее время аксиоматический подход понимается как «способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения получаются как логические следствия аксиом».

Аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом применения аксиоматического метода вплоть до 19 в. была геометрическая система известная под названием «Начала» Евклида (ок. 300 до н.э.). Во времена Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко проведена идея получения всего основного содержания геометрической теории только дедуктивным путем из некоторого относительно небольшого числа утверждений — аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной [21].

В работах Евклида пятая аксиома о параллельности прямых была сформулирована как теорема: предположим, что есть прямая и точка , не лежащая на этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки А на прямую . Всякая прямая пересекающая этот перпендикуляр в точке под не прямым углом , пересекает прямую . Имея такую аксиому Евклид доказывает теорему, что если , то две прямые параллельны. Так как угол равный 90 единственный, то и прямая параллельная данной - одна.

После доказательства эквивалентности пятой аксиомы и теоремы о параллельности двух прямых, стали пользоваться формулировкой теоремы как аксиомой. Но, даже в такой формулировке математики не верили в незыблемость пятой аксиомы. Показав, что следствия, полученные из отрицания пятой аксиомы и всех теорем, выводимых на ее основе, не противоречивы, Лобачевский тем самым показал независимость пятой аксиомы.

Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяи явилось толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный, и, казалось бы, единственный «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных прямых, его отрицанием, можно развить чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков 19 в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла теория доказательств как основной раздел современной математической логики.

Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более менее отчетливой форме уже в 19 веке. Уточнение основных понятий анализа и сведение более сложных (хотя и более очевидных интуитивно) понятий к простейшим логическим схемам, а также открытие неевклидовых геометрий, стимулировало оформление требований к любой системе аксиом.

Другое по теме:

Основные направления работы по реализации прав ребенка в дошкольном образовательном учреждении
Сегодняшние дети – это будущее страны. Каким станет будущее детей и государства зависит от многих причин. Несомненно, одно: благополучие граждан России возможно только в цивилизованном правовом государстве. Формирование ценностной моральной и правовой практики для наилучшего обеспечения интересов д ...

Влияние подвижных игр при основных отклонениях в состоянии здоровья младших школьников
Одним из важных вопросов улучшения физической подготовленности младших школьников является поиск эффективных средств и методов, способствующих ускоренному развитию двигательных функций, привитию устойчивого интереса к занятиям физическими упражнениями. По мнению специалистов, особенно в начальной ш ...

Основные линии математического образования на современном этапе
Современные подходы к организации системы школьного образования, в том числе и математического образования, определяются, прежде всего, отказом от единообразной, унитарной средней школы. Направляющими векторами этого подхода являются гуманизация и гуманитаризация школьного образования. Гуманитариза ...