Особенности современного аксиоматического подхода

В настоящее время аксиоматический подход понимается как «способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения получаются как логические следствия аксиом».

Аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом применения аксиоматического метода вплоть до 19 в. была геометрическая система известная под названием «Начала» Евклида (ок. 300 до н.э.). Во времена Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко проведена идея получения всего основного содержания геометрической теории только дедуктивным путем из некоторого относительно небольшого числа утверждений — аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной [21].

В работах Евклида пятая аксиома о параллельности прямых была сформулирована как теорема: предположим, что есть прямая и точка , не лежащая на этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки А на прямую . Всякая прямая пересекающая этот перпендикуляр в точке под не прямым углом , пересекает прямую . Имея такую аксиому Евклид доказывает теорему, что если , то две прямые параллельны. Так как угол равный 90 единственный, то и прямая параллельная данной - одна.

После доказательства эквивалентности пятой аксиомы и теоремы о параллельности двух прямых, стали пользоваться формулировкой теоремы как аксиомой. Но, даже в такой формулировке математики не верили в незыблемость пятой аксиомы. Показав, что следствия, полученные из отрицания пятой аксиомы и всех теорем, выводимых на ее основе, не противоречивы, Лобачевский тем самым показал независимость пятой аксиомы.

Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяи явилось толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный, и, казалось бы, единственный «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных прямых, его отрицанием, можно развить чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков 19 в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла теория доказательств как основной раздел современной математической логики.

Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более менее отчетливой форме уже в 19 веке. Уточнение основных понятий анализа и сведение более сложных (хотя и более очевидных интуитивно) понятий к простейшим логическим схемам, а также открытие неевклидовых геометрий, стимулировало оформление требований к любой системе аксиом.

Другое по теме:

Методика изменения учебной деятельности
При развитии мотива достижения ориентируйте учеников на самооценку деятельности: Спрашивайте ученика: «Ты доволен результатом?», вместо оценки: «Ты хорошо справился с работой». Проводите индивидуальные беседы для обсуждения достижений и пробелов. Постоянно интересуйтесь отношением ученика к процесс ...

Психологические особенности детей 10 – 12 лет
Средний школьный возраст (от 10-11-15 лет) (отрочество, подростковый возраст) – переходный от детства к юности. Он совпадает с обучением в школе второй ступени (V-IX классы) и характеризуется общим подъемом жизнедеятельности и глубокой перестройкой всего организма. Самый трудный и сложный из всех д ...

Сюжетное рисование в дошкольном возрасте: его особенности и значение
Основная цель сюжетного рисования – научить ребенка передавать свои впечатления об окружающей действительности. Известно, что все окружающие предметы находятся в определенной связи друг с другом. Отношение к какому-либо предмету или явлению во многом зависит от понимания именно этой связи. Возможно ...