Вынужденные колебания

Рассмотрим синусоидальную периодическую силу с некоторой определённой частотой. Если эта сила приложена к механической системе, то система будет колебаться по синусоидальному закону с той же частотой. Совпадение частоты изменения силы с частотой колебательного процесса характерно для вынужденных колебаний. Вынужденные колебания могут возникать в самых разных условиях. Существенной особенностью возбуждающей колебания силы является то, что модуль её остаётся неизменным вне зависимости от того, вибрирует или нет тело, к которому эта сила приложена. Если частота возбуждающей силы сравнима с собственной частотой системы, то следует ожидать интенсивных колебаний, называемых резонансом.

Явление резонанса может оказывать как положительное, так и отрицательное воздействие. Например, при создании музыкальных инструментов, для усиления их звучания, используют резонаторы, в качестве которых выступает корпус музыкальных инструментов. Кроме этого при помощи резонанса можно, не прилагая особых усилий, привести в движение достаточно массивное тело. С другой стороны, в случае, когда амплитуда колебаний превышает силы упругости колеблющегося тела, резонанс оказывает отрицательное воздействие. В промышленности, для гашения нежелательных резонирующих колебаний, существует два различных метода: первый метод состоит в «отстройке» системы путём такого изменения собственных частот, чтобы они не совпадали с частотами возбуждения или наоборот изменять частоту возбуждающей силы; второй метод заключается в специальном увеличении демпфирования системы. Первый метод наиболее эффективен, но его не всегда можно осуществить. При большом демпфировании интенсивные колебания мало вероятны и поэтому на практике расчёт существующих резонансных частот не отличается от расчёта собственных частот систем без сил трения. В тех случаях, где отстройка системы невозможно применяются демпферы.

Если внешние силы действуют на систему с одной степенью свободы, обобщённая координата которой есть q, то работу, произведённую ими при бесконечно малом изменении конфигурации пропорционально q, можно обозначить через Qdq. Q – обобщённая сила, действующая на систему относительно обобщённой координаты q. Например: если q –угловая координата тела, которое может вращаться вокруг своей оси, то Q –момент внешних сил относительно этой оси. Отсюда следует, что при любом реальном движении системы, мощность внешних сил равна Qq'. Уравнение энергии принимает теперь следующую форму:

d/dt(T+f)=Qq' (4.1)

или

aq"+ ½ (da/dq)q'²+df/dq=Q (4.1')

Рассматривая малые колебания около положения равновесия, можно как и прежде пренебречь членами второго порядка. Подставив получим:

aq"+cq=Q (4.2)

Если Q –гармоническая сила, например сила пропорциональная cos((t), то вынужденные колебания выражаются функцией

q=Q/(c-w²a) (4.3)

Когда w очень мало q=Q/c. Это значение можно назвать статистическим или «равновесным» значением смещения; это – статистическое смещение, которое было бы создано постоянной силой, равной мгновенному значению Q. Другими словами, это то смещение, которое сила создавала бы в системе, лишённой инерции (a=0).[11]

Если на систему действуют две или более гармонических вынуждающих сил, результирующее вынужденное колебание получится путём простого сложения. Так например, вынужденная сила

Q=А 1cos(w1t+j1)+А2cos(w2t+j2)+… (4.4)

Вызовет вынужденные колебание

q=(А1/(w2 – j12)) cos(w1t+j1)+(А2/(w2 – j22)) cos(w2t+j2)+… (4.5)

Заметим, что из-за различия знаменателей, амплитуды отдельных членов этого выражения не пропорциональны амплитудам соответствующих членов в выражении для Q.

Другое по теме:

К проблеме организации процесса экологического воспитания детей в дошкольном образовательном учреждении
Экологическое воспитание дошкольников является составной частью нравственного воспитания. Поэтому под экологическим воспитанием надо понимать единство экологического сознания и поведения гармоничного с природой. На формирование экологического сознания оказывают влияние экологические знания и убежде ...

Приемы прикидки и оценки результата как приемы эвристического поиска
Поиск решения той или иной задачи на вычисления можно осуществить несколькими способами. Первое, что приходит на ум, сразу приступить к вычислению, даже с виду громоздкого примера. Это так называемый метод проб и ошибок. Задача будет решена, но весь вопрос в том сколько времени и усилий уйдет на эт ...

Влияние ИЗО-искусства на развитие творческих способностей
Средствами изобразительного искусства и изобразительной деятельности у детей формируется эстетическое отношение к окружающей действительности, сопереживание при восприятии художественных образов. В процессе изобразительной деятельности происходит становление художественного творчества, развитие кот ...