Происхождение аксиоматического метода

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служили неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.

Математические понятия широко использовались за пределами самой математики, они казались непреложными, как и принципы самой математики.

Древние греки (со времён открытия Пифагором математической природы музыкальной гармонии) считали, что вселенная существует на математических принципах. «Математика внутри присуща природе; закон и порядок существует в природе и математика — ключ к пониманию этого порядка» [14 с. 40]. Исходя из такого понимания, пифагорейцы сумели описать математическими законами (законами отношения величин и чисел) некоторые природные явления, такие, как движение планет и звёзд. Последнее стало возможным благодаря предположению, что планеты, двигаясь в пространстве, издают звуки.

Способ работы математиков, состоящий в выводе новых содержательных утверждений, применимых к разным объектам действительности, из нескольких представляющихся очевидными принципов был впоследствии оформлен в дедуктивный, или аксиоматический, метод. Природа дедуктивных выводов такова, что метод гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные положения (аксиомы).

С помощью дедуктивного метода математики наглядно продемонстрировали возможности и силу человеческого разума в понимании и описании законов природы. Энтузиазм по поводу успехов математического метода в изучении природы в эпоху Просвещения привёл к тому, что логические требования и даже математические понятия и теоремы стали применяться ко многим областям человеческой деятельности.

«Созданные в начале 19 века необычные геометрии и столь же не обычные алгебры вынудили математиков, крайне не охотно, осознать, что и сама математика и математические законы в других науках не есть абсолютные истины». Так, К.-Ф. Гаусс поставил под сомнение то, что аксиомы евклидовой геометрии описывают физические свойства реального пространства, и поставил вопрос о том, как можно определить, какова его реальная геометрия. Было обнаружено, что в пределах точности измерений невозможно определить, какая из геометрий соответствует реальности.

Но эти геометрии противоречили одна другой, что, по представлениям того времени, означало, все они не могли быть одновременно истинными.

В то же время было обнаружено (Коши), что в математических доказательствах именно там, где математик не может опираться на интуитивно очевидные представления и, казалось бы, единственной гарантией истинности является строгость рассуждений (как, например, в «исчислении бесконечно малых»), математики используют нечёткие понятия вместо определений и расплывчатые аналогии вместо доказательств.

Опасность получить неверный результат привела к тому, что требования к точности и основательности математических рассуждений в течение XIX века стали значительно строже.

Другое по теме:

Рисунки и рассказы детей о насекомых
Одним из показателей интереса детей к миру насекомых является их желание рисовать и рассказывать о насекомых. Результаты наблюдений, экскурсии, прогулки дети стремятся отразить в самостоятельной изобразительной деятельности. По рисункам можно судить о том, что особо привлекает внимание ребёнка, как ...

Два подхода к преподаванию математики и задача проектирования курса геометрии
Проблемы в самой математической науке неизбежно влекут за собой проблемы в преподавании математики. Пересмотр основ математики сильно отразился на преподовании геометрии, как на основе и историческом начале всей математики. Остро встал вопрос: «Как преподавать математику и в частности геометрию?». ...

Развитие умений декодирования невербальной информации у учителей общеобразовательных школ
Глобальные изменения, потрясшие Россию и весь мир за прошедшие десятилетия, соответствующим образом сказались и на образовательной политике. Роль образования на современном этапе развития России определяется задачами перехода страны к системе рыночной экономики, а также необходимостью стать конкуре ...