Происхождение аксиоматического метода

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служили неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.

Математические понятия широко использовались за пределами самой математики, они казались непреложными, как и принципы самой математики.

Древние греки (со времён открытия Пифагором математической природы музыкальной гармонии) считали, что вселенная существует на математических принципах. «Математика внутри присуща природе; закон и порядок существует в природе и математика — ключ к пониманию этого порядка» [14 с. 40]. Исходя из такого понимания, пифагорейцы сумели описать математическими законами (законами отношения величин и чисел) некоторые природные явления, такие, как движение планет и звёзд. Последнее стало возможным благодаря предположению, что планеты, двигаясь в пространстве, издают звуки.

Способ работы математиков, состоящий в выводе новых содержательных утверждений, применимых к разным объектам действительности, из нескольких представляющихся очевидными принципов был впоследствии оформлен в дедуктивный, или аксиоматический, метод. Природа дедуктивных выводов такова, что метод гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные положения (аксиомы).

С помощью дедуктивного метода математики наглядно продемонстрировали возможности и силу человеческого разума в понимании и описании законов природы. Энтузиазм по поводу успехов математического метода в изучении природы в эпоху Просвещения привёл к тому, что логические требования и даже математические понятия и теоремы стали применяться ко многим областям человеческой деятельности.

«Созданные в начале 19 века необычные геометрии и столь же не обычные алгебры вынудили математиков, крайне не охотно, осознать, что и сама математика и математические законы в других науках не есть абсолютные истины». Так, К.-Ф. Гаусс поставил под сомнение то, что аксиомы евклидовой геометрии описывают физические свойства реального пространства, и поставил вопрос о том, как можно определить, какова его реальная геометрия. Было обнаружено, что в пределах точности измерений невозможно определить, какая из геометрий соответствует реальности.

Но эти геометрии противоречили одна другой, что, по представлениям того времени, означало, все они не могли быть одновременно истинными.

В то же время было обнаружено (Коши), что в математических доказательствах именно там, где математик не может опираться на интуитивно очевидные представления и, казалось бы, единственной гарантией истинности является строгость рассуждений (как, например, в «исчислении бесконечно малых»), математики используют нечёткие понятия вместо определений и расплывчатые аналогии вместо доказательств.

Опасность получить неверный результат привела к тому, что требования к точности и основательности математических рассуждений в течение XIX века стали значительно строже.

Другое по теме:

Понятие «Психологическая готовность к обучению»
Школьное обучение – один из серьезнейших этапов в жизни ребенка. Поэтому вполне понятна та озабоченность, которую проявляют и взрослые, и дети при приближающемся поступлении в школу. Часть родителей и воспитателей, да и самих детей воспринимают этот момент как своеобразный экзамен ребенка за весь д ...

Логопедическая работа с детьми с детским церебральным параличом
Первые отечественные работы, посвященные воспитанию дошкольников с церебральным параличом, были написаны в 60 – Х годах М.В. Ипполитовой и Л.А. Даниловой. Авторами были представлены рекомендации по развитию зрительного, тактильного, слухового восприятия в игровой деятельности, по формированию време ...

Проведение экспертизы деятельности региональных психологических служб системы образования
Целью является оказание практической помощи руководителям районных, городских органов управления образованием по вопросам проведения экспертизы деятельности региональных психологических служб. Региональная психологическая служба создается в целях обеспечения социальных и психологических условий для ...