Формула Бейеса

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

, , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

,

Заменив P(А)= получим:

.

Решение задач.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому используя формулу условной вероятности получи:

.

Задача 2. Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В= «Взятая деталь бракованная», Ак= «деталь берется из к-ой партии», тогда вероятность Р(Ак)=1/3, где к=1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит , тогда в двух других парий нет бракованных лыж, то есть: . Применяя формулу полной вероятности получим:

P(B)=.

Задача 3. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p1, второго р2. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В= «прибор отказал», событие А1= «Оба узла исправны», А2= «первый узел отказал, а второй испарвен», А3= «первый узел исправен, а второй узел отказал», А4= «Оба узла отказали». Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности:

Р(А1)=р1р2

Р(А2)=(1-р1)р2

Р(А3)=р1(1-р2)

Р(А4)=(1-р1)(1-р2).

Так как наблюдалось событие В, то:

Р(В/А1)=0,

Р(В/А2)= Р(В/А3)= 1.

Применяя формулу Бейеса получим:

.

Другое по теме:

Основные формы контроля знаний
Методика контроля как целостная система состоит из разных (по функциям, формам и т.п.) структурных компонентов. Выготский отмечает, что основные направления методики контроля в разных источниках педагогической и методической литературы в существенном совпадают, но названия (номенклатуру) терминов ( ...

Формы представления алгоритма
Алгоритм должен быть формализован по некоторым правилам посредством конкретных изобразительных средств. К ним относятся следующие способы записи алгоритмов: словесный, формульно-словесный, графический, язык операторных схем, программа (алгоритмический язык). Словесный способ представления несложен, ...

Использование индивидуальной системы заданий по темам «Формализация и моделирование» и «Microsoft Excel» в курсе информатике для старшей школы
Проведение опытно-экспериментальной работы направлено на практическую проверку гипотезы исследования и внедрение в учебный процесс систему задач и заданий по информатике, дифференцированную в зависимости от профессиональной ориентации старшеклассников. Опытно-экспериментальная работа проводилась в ...