Формула Бейеса

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

, , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

,

Заменив P(А)= получим:

.

Решение задач.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому используя формулу условной вероятности получи:

.

Задача 2. Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В= «Взятая деталь бракованная», Ак= «деталь берется из к-ой партии», тогда вероятность Р(Ак)=1/3, где к=1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит , тогда в двух других парий нет бракованных лыж, то есть: . Применяя формулу полной вероятности получим:

P(B)=.

Задача 3. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p1, второго р2. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В= «прибор отказал», событие А1= «Оба узла исправны», А2= «первый узел отказал, а второй испарвен», А3= «первый узел исправен, а второй узел отказал», А4= «Оба узла отказали». Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности:

Р(А1)=р1р2

Р(А2)=(1-р1)р2

Р(А3)=р1(1-р2)

Р(А4)=(1-р1)(1-р2).

Так как наблюдалось событие В, то:

Р(В/А1)=0,

Р(В/А2)= Р(В/А3)= 1.

Применяя формулу Бейеса получим:

.

Другое по теме:

Методика оценки эффективности проведённой работы
Показателем эффективности проведенной работы является улучшение состояния клиента, повышение самооценки и снижение агрессивности и аутоагрессии, улучшение межличностного взаимодействия клиента с окружающими субъектами. Все это может выявить специалист в процессе заключительной беседы с клиентом. Ес ...

Дифференциация в обучении старшеклассников
Дифференциация в курсе информатики просто необходима, сейчас в современном мире, все больше происходить изменение стериатипов обучения не только предмета информатика, но и многих других. Современные школы переходят на уровневую дифференциацию. Для того чтобы лучше разобраться как проходило изменени ...

Эстетическое воспитание как метод повышение нравственных качеств личности
Роль эстетического воспитания в развитии личности. Роль эстетического воспитания в развитии личности, ее всестороннем формировании трудно переоценить. Уже в древности пробивала себе дорогу мысль об элементах эстетики и красоты в жизни и деятельности человека. Об этом, в частности, говорится в одной ...