Колебания скрипичной струны

Рассматриваемый случай можно осуществить, прижимая ножку камертона к фортепьянной струне. Звук сильно возрастает каждый раз, когда какая-либо из собственных частот участка струны между точкой соприкосновения и любым из её концов совпадает с собственной частотой колебаний камертона. Этот метод предложен Гельмгольцем как способ получения чистых тонов, т.к. высшие собственные частоты камертона не гармоничны по отношению к основной частоте и поэтому не усиливаются. Если на струну действует поперечная сила и на единицу длины приходится сила I, то уравнение (6.1) можно записать как

r¶2y/¶t2=(P¶2y/¶x2)+I (6.14)

Вообще I может зависеть одновременно и от x и от t.

Случай периодической силы Fcos(Pt+a), сосредоточенной на бесконечно малом отрезке струны вблизи x=a, можно вывести из (6.13) и (6.13'). Величину b можно выразить через F, исходя из условия точного уравновешивания силы натяжения струны в этой точке; при x=a должно быть

Fcos(Pt+a)=Py'1 - Py'2 (6.15)

Отсюда получаем

y1=csin(Px/c) sin(p(L-a)/c) Fcos(Pt+a)/P2sin(PL/c) (6.16)

y2=c sin(Px/c) sin(p(L-x)/c) Fcos(Pt+a)/P2sin(PL/c) (6.16')

Как правило, амплитуда сильно возрастает, когда величина sin(PL/c) мала, т.е. когда период вынужденных колебаний приближается к одному из периодов собственных колебаний всей струны. В случае, когда одновременно sin(Pa/c)=0 и sin(PL/c)=0, имеет место неопределённость, точка x=0 при этом совпадает с узлом.

Силы трения между смычком и струной – это силы сухого трения. Можно говорить о силах трения покоя и трениях скольжения. Первая сила возникает между соприкасающимися, но неподвижными друг относительно друга телами, вторая – при скольжении одного тела по поверхности другого.

Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней силе. Сила трения скольжения зависит от материала тел и от состояния трущихся поверхностей, а также от относительной скорости этих тел.

При начальном движении смычка струна отклоняется вместе с ним. При этом сила трения покоя уравновешивается силами натяжения струны. Равнодействующая F сил натяжения пропорциональна отклонению струны x от положения равновесия:

F=2Tsina=4T0x/l

где l –длина струны, а T0 –сила натяжения струны, которую при малых отклонениях можно считать постоянной. Поэтому при движении струны вместе со смычком сила F будет расти, и в тот момент, когда она станет равной максимальной силе трения покоя, начнётся проскальзывание.

В момент срыва скорость струны равнялась скорости смычка, и в начале струна будет продолжать отклоняться в сторону движения смычка. Но теперь равнодействующая сила натяжения ничем не скомпенсирована, поэтому она будет тормозить движение струны, замедляя его. В какой-то момент скорость струны упадёт до нуля, затем струна начнёт двигаться обратно; после максимального отклонения от положения равновесия в противоположную начальной сторону струна опять будет двигаться в сторону движения смычка. А смычок будет двигаться равномерно со скоростью u. В некоторый момент скорости струны и смычка сравняются. При этом между струной и смычком проскальзывания уже нет, и появляется сила трения покоя, равная равнодействующей сил натяжения.

При дальнейшем движении струны до положения равновесия силы натяжения уменьшатся, и соответственно уменьшается сила трения покоя. После прохождения струной положения равновесия процесс повторяется. Таким образом, мы получаем незатухающие колебания.

Другое по теме:

Комментарии к исследованию и анализ результатов
Исследование проводилось с целью анализа примеров медиа-проектов – как в них ставится и ставится ли вообще образовательная задача. Проведенное исследование позволило описать перечень рекомендаций по введению образовательных эффектов в рамках этих проектов. При анализе медиа-проектов было обнаружено ...

Воспитание – как концептуальная составляющая культурогенеза личности
Под содержанием воспитания понимают систему знаний, убеждений, навыков, качеств и черт личности, устойчивых привычек поведения, которыми должны обладать учащиеся в соответствии с поставленными целями и задачами. Умственное, физическое, трудовое и политехническое, нравственное, эстетическое воспитан ...

Понятие о национальной и этнической идентичности в социогуманитарном научном знании
В настоящее время понятие «идентичность» в различном контексте используется в таких областях социогуманитарного знания как: социальная психология, социология, философия, этнология, политические науки. Каждая из перечисленных наук, несомненно, вносит свой, уникальный вклад в изучение идентичности ка ...