Уравнения колебания струны

Будем считать, что струна обладает постоянной линейной плотностью r и растянута силой натяжения P. Направление оси x выберем вдоль положения равновесия струны, через y обозначим поперечное отклонение в точке x в момент времени t. Предполагается, что угол наклона ¶y/¶x кривой, образованный струной в любой момент времени t, настолько мал, что изменением натяжения можно пренебречь. При этих условиях уравнением движения элемента dx будет

rdx ¶2y/¶t2 =dPsin(j) (5.1)

где j - угол наклона касательной относительно оси x. Действительно, правая часть представляет собой разность проекций в направлении y натяжения на обоих концах элемента. На основании только что сделанного предположения можно положить

sinj < tg j = ¶y/¶ x (5.1')

так что уравнение (1) можно переписать

¶2y/¶t2=V2 ¶2y/¶t2 (5.2)

где V2=P/r, где V – скорость. Кинетическая энергия любого участка струны выражается интегралом

T=1/2 ròy'2dx (5.3)

взятым в соответствующих пределах. Потенциальную энергию можно вычислить двумя способами: 1) можно представить, что струна перемещается из состояния покоя в положении равновесия, в состояние покоя в любом другом заданном положении при помощи приложенных к ней поперечных сил. Для простоты предполагаем, что на любой стадии этого процесса все ординаты находятся в постоянном отношении (K) к своему конечному значению y, так что последовательные формы струны отличаются только по амплитудам силы, которая должна быть приложена к элементу dx, для того чтобы уравновесить натяжение на его концах, есть

-¶/¶x (Psinj)dx

синусу j следует положение равное K¶y/¶x при увеличении K на dx приращение смещения равно ydK. Полная работа, выполненная над этим элементом, поэтому будет равна:

-Pyy" dx 0ò1 Kdk= -1/2 Pyy"dx (5.4)

а потенциальная энергия

f=-1/2 P òyy" dx (5.5)

Пользуясь вторым методом, мы вычислим работу, произведённую при растяжении струны против натяжения P. Увеличение длины элемента dx приблизительно равно

Ö1+y'2 dx - dx=1/2 y'2dx (5.6)

так что

f=1/2 P'òy'2dx (5.7)

Эти выражения дают одинаковые результаты, когда интегрирование выполнено по всей возможной длине струны. Действительно при интегрировании по частям получим:

-òyy''dx= -[yy']+òy'2dx (5.8)

Первый член справа относится к значениям на пределах интегрирования струны. Он исчезает на концах возможного участка, т.к. здесь y равно нулю.

Другое по теме:

Типология тестовых заданий для пропедевтического курса информатики и ИКТ
При составлении тестовых заданий существуют некоторые общие правила, на которые можно опираться во время работы. Различными авторами предлагаются различные классификации видов тестовых заданий. Рассмотрим наиболее употребительные из них в практике тестирования. Предварительно можно выделить четыре ...

Работа по коррекции дыхания
Дыхательные упражнения: Легко поплевывать с зажатыми крыльями носа. Легко подуть холодной струей на вату, бумагу. Легко подуть холодной струей на бумажные фигурки бабочек, птичек, лыжников. Пускание мыльных пузырей через разные атрибуты. Легко дуть через пластмассовые трубочки на воду до её разбрыз ...

Ознакомительное чтение как цель и средство обучения иностранному языку в средней школе
Чтение входит в сферу коммуникативно-общественной деятельности людей и рассматривается как перцептивно-мнемическая деятельность, которая направлена на извлечение информации из печатного текста и процессуальная сторона которой носит аналитико-синтетический характер, предопределяемый конкретной целью ...