Уравнения колебания струны

Будем считать, что струна обладает постоянной линейной плотностью r и растянута силой натяжения P. Направление оси x выберем вдоль положения равновесия струны, через y обозначим поперечное отклонение в точке x в момент времени t. Предполагается, что угол наклона ¶y/¶x кривой, образованный струной в любой момент времени t, настолько мал, что изменением натяжения можно пренебречь. При этих условиях уравнением движения элемента dx будет

rdx ¶2y/¶t2 =dPsin(j) (5.1)

где j - угол наклона касательной относительно оси x. Действительно, правая часть представляет собой разность проекций в направлении y натяжения на обоих концах элемента. На основании только что сделанного предположения можно положить

sinj < tg j = ¶y/¶ x (5.1')

так что уравнение (1) можно переписать

¶2y/¶t2=V2 ¶2y/¶t2 (5.2)

где V2=P/r, где V – скорость. Кинетическая энергия любого участка струны выражается интегралом

T=1/2 ròy'2dx (5.3)

взятым в соответствующих пределах. Потенциальную энергию можно вычислить двумя способами: 1) можно представить, что струна перемещается из состояния покоя в положении равновесия, в состояние покоя в любом другом заданном положении при помощи приложенных к ней поперечных сил. Для простоты предполагаем, что на любой стадии этого процесса все ординаты находятся в постоянном отношении (K) к своему конечному значению y, так что последовательные формы струны отличаются только по амплитудам силы, которая должна быть приложена к элементу dx, для того чтобы уравновесить натяжение на его концах, есть

-¶/¶x (Psinj)dx

синусу j следует положение равное K¶y/¶x при увеличении K на dx приращение смещения равно ydK. Полная работа, выполненная над этим элементом, поэтому будет равна:

-Pyy" dx 0ò1 Kdk= -1/2 Pyy"dx (5.4)

а потенциальная энергия

f=-1/2 P òyy" dx (5.5)

Пользуясь вторым методом, мы вычислим работу, произведённую при растяжении струны против натяжения P. Увеличение длины элемента dx приблизительно равно

Ö1+y'2 dx - dx=1/2 y'2dx (5.6)

так что

f=1/2 P'òy'2dx (5.7)

Эти выражения дают одинаковые результаты, когда интегрирование выполнено по всей возможной длине струны. Действительно при интегрировании по частям получим:

-òyy''dx= -[yy']+òy'2dx (5.8)

Первый член справа относится к значениям на пределах интегрирования струны. Он исчезает на концах возможного участка, т.к. здесь y равно нулю.

Другое по теме:

Физика колебаний. Свободные колебания
Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое возмущение и предоставленное самому себе, после этого совершает колебания. Хотя такие свободные колебания сами по себе редко используются в технике, знакомство с ними необходимо, поскольку их роль в колебательном процессе чрезвычайно ва ...

Система образования Франции
В послевоенных конституциях подтверждается принцип, что «нация должна гарантировать равный доступ детей и взрослых к образованию, профессиональному обучению и культуре; предоставление бесплатного светского общедоступного образования на всех уровнях должно быть обязанностью государства». Однако обра ...

Работа над синтаксическими понятиями на уроках русского языка в начальной школе
Словосочетание, как и слово, называется предметы, действия и признаки, но более конкретно: стол и письменный стол, читать и читать книгу, большой и очень большой. В речевой практике словосочетание, как правило, используется не самостоятельно, а в предложении. В предложении выделяется несколько слов ...