Будем считать, что струна обладает постоянной линейной плотностью r и растянута силой натяжения P. Направление оси x выберем вдоль положения равновесия струны, через y обозначим поперечное отклонение в точке x в момент времени t. Предполагается, что угол наклона ¶y/¶x кривой, образованный струной в любой момент времени t, настолько мал, что изменением натяжения можно пренебречь. При этих условиях уравнением движения элемента dx будет
rdx ¶2y/¶t2 =dPsin(j) (5.1)
где j - угол наклона касательной относительно оси x. Действительно, правая часть представляет собой разность проекций в направлении y натяжения на обоих концах элемента. На основании только что сделанного предположения можно положить
sinj < tg j = ¶y/¶ x (5.1')
так что уравнение (1) можно переписать
¶2y/¶t2=V2 ¶2y/¶t2 (5.2)
где V2=P/r, где V – скорость. Кинетическая энергия любого участка струны выражается интегралом
T=1/2 ròy'2dx (5.3)
взятым в соответствующих пределах. Потенциальную энергию можно вычислить двумя способами: 1) можно представить, что струна перемещается из состояния покоя в положении равновесия, в состояние покоя в любом другом заданном положении при помощи приложенных к ней поперечных сил. Для простоты предполагаем, что на любой стадии этого процесса все ординаты находятся в постоянном отношении (K) к своему конечному значению y, так что последовательные формы струны отличаются только по амплитудам силы, которая должна быть приложена к элементу dx, для того чтобы уравновесить натяжение на его концах, есть
-¶/¶x (Psinj)dx
синусу j следует положение равное K¶y/¶x при увеличении K на dx приращение смещения равно ydK. Полная работа, выполненная над этим элементом, поэтому будет равна:
-Pyy" dx 0ò1 Kdk= -1/2 Pyy"dx (5.4)
а потенциальная энергия
f=-1/2 P òyy" dx (5.5)
Пользуясь вторым методом, мы вычислим работу, произведённую при растяжении струны против натяжения P. Увеличение длины элемента dx приблизительно равно
Ö1+y'2 dx - dx=1/2 y'2dx (5.6)
так что
f=1/2 P'òy'2dx (5.7)
Эти выражения дают одинаковые результаты, когда интегрирование выполнено по всей возможной длине струны. Действительно при интегрировании по частям получим:
-òyy''dx= -[yy']+òy'2dx (5.8)
Первый член справа относится к значениям на пределах интегрирования струны. Он исчезает на концах возможного участка, т.к. здесь y равно нулю.
Другое по теме:
Общие подходы к коррекции нарушений письма у младших школьников
Из ранних работ отечественных авторов большую значимость имеют работы невропатологов Р.А. Ткачева и С.С. Мухина. По мнению С.С. Мухина психопатологической основой алексии (дислексии) и аграфии (дисграфии) является нарушение структурообразования. Автор считает, что в подавляющем большинстве случаев ...
Как можно эффективно помочь детям с дислексией
Кто способен научить ребенка читать и писать? Маме и папе вряд ли это удастся, нужна помощь специалиста – квалифицированного логопеда. Занятия проводятся по определенной системе: используются различные речевые игры, разрезная или магнитная азбука для складывания слов, выделение грамматических элеме ...
Аксиоматика евклидовой геометрии
Современная система аксиом Евклидовой геометрии состоит из пяти групп и опирается на шесть основных неопределяемых понятия: точки, прямые и плоскости и трех видов отношений выражаемых словами «принадлежит», «между» и «движение». Введем аксиомы, предложенные в математической энциклопедии. принадлежн ...