Физика колебаний. Свободные колебания

½aq¢²+f=const (3.6)

при условии, что система свободна от действия внешних сил. Значение const, количественно, определяется начальными условиями. Если продифференцировать это уравнение по t и почленно поделить на q¢ то получим

aq¢¢+½(da/dq)q¢²+df/dq=0 (3.7)

Это выражение можно рассматривать как уравнение свободного движения системы, из которого исключены неизвестные реакции между её частями. Для случая малых колебаний уравнение сильно упрощается. Для существования положения равновесия уравнение должно удовлетворяться при q=const.Это требует выполнения

df/dq=0 (3.8)

значит, равновесная конфигурация характеризуется тем, что при малых отклонениях от положения равновесия потенциальная энергия «стационарна». Прибавляя или отнимая некоторую константу, можно выбирать q т.о., чтобы оно обращалась в ноль при рассматриваемой нами равновесной конфигурации; тогда, разлагая в степенной ряд по малой величине q, имеем

f=const+½cq²+… (3.9)

Ввиду стационарности f в положении равновесия, в разложении отсутствует член с первой степенью q. Const=C>0, если равновесная конфигурация устойчива, и f имеет минимум. Её можно назвать «коэффициентом устойчивости». Подставив в (3.7) уравнение (3.9) и опустив члены второго порядка относительно q и q′ получим :

aq¢¢+Cq=0 (3.10)

где a теперь можно считать постоянной величиной, имеющей значение, соответствующее конфигурации равновесия.

C/a=w² (3.10')

и следовательно

q=Ccos((wt+j) (3.11)

_т.е. гармоническая функция и

n=1/2pÖC/a (3.11¢)

Далее, поскольку смещение от положения равновесия любой части системы при её движении по своей траектории пропорционально q (в приведённых выше обозначениях оно равно aq), мы видим, что каждая частица совершает гармонические колебания с указанной частотой и отдельные частицы движутся синхронно, одновременно проходя через средние положения. Кроме того, амплитуды колебаний разных частиц находятся в постоянном отношении друг к другу; произвольны только абсолютная величина амплитуды и фаза колебания; они зависят от заданных начальных условий. Кинетическая и потенциальная энергии будут соответственно равны:

T=½aq¢²=½n²aC²sin²(wt+j) (3.12)

f=½cq²=½cC²cos²(wt+j) (3.13)

а их сумма

T+f=½w²aC²+½cC² (3.14)

Средние значения sin²(wt+j)=cos²(wt+j)=½, поэтому энергия системы в среднем является наполовину кинетической и наполовину потенциальной. Для приложения теории к частным случаям требуется только вычислить коэффициенты a и c, причём (в задачах механики) вычисление последнего обычно более сложно. В случае тела, подвешенного на проволоке и совершающего крутильные колебания вокруг оси проволоки, a-момент инерции относительно этой оси, а c-коэффициент крутильного момента, т.е. cq-это крутильный момент, возникающий при повороте тела на угол q.

Если в задаче о массе, подвешенной на пружине предположить, что вертикальное перемещение любой точки пружины пропорционально расстоянию z от точки подвеса при отсутствии растяжения, то кинетическая энергия определяется следующим выражением:

2T=Mq¢²+0òl(z/l)²q¢²rdz=(M+1/3rl)q¢² (3.15)

где r - линейная плотность, l - длина пружины в нерастянутом состоянии и q смещение груза.

Другое по теме:

Анализ диагностических методик исследования уровня сформированности письменной речи детей младшего школьного возраста с общим недоразвитием речи
Предупреждение и преодоление неуспеваемости учащихся, обусловленной имеющимися у них отклонениями в развитии речи, является главной задачей учителей-логопедов общеобразовательной школы. Наличие у детей даже слабо выраженных отклонений в фонетическом и лексико-грамматическом развитии является серьез ...

Творческий потенциал университетской социокультурной среды
Одаренность проявляется не только в опережающем развитии интеллекта, подтверждаемого успехами в академической, научно-исследовательской, информационно-поисковой деятельности. Сегодня особенно востребована социальная одаренность, находящая выражение в незаурядных организаторских способностях, в лиде ...

Компоненты вычислительной культуры
Трудно, а может быть даже невозможно дать исчерпывающее определение музыкальной культуры индивидуума или его культуры мышления, да и вообще понятие культуры вряд ли поддается однозначному определению. Можно лишь попытаться выделить те элементы, наличие которых является необходимым признаком культур ...