Применение производной для решения практических задач

Теоретические факты:

1) Производной данной функцииназывается предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной, когда это приращение стремится к 0.

2)Если функция (имеющая производную) при принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при обращается в 0.

3) Для того чтобы функция( имеющая производную) имела при или минимум, необходимо , чтобы производная при этом значении х была равна 0.

4) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке :

-Найти критические точки, лежащие внутри отрезка, т.е. на интервале (а,b).

-Вычислить значения функции в этих точках.

-Вычислить значения функции на концах отрезка.

-Из значений функций, найденных в предыдущих пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи:

№1 Задача о прямоугольнике наибольшей площади

Из куска, стекла, имеющего указанные на рисунке 23 форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Площадь пластины . За независимое переменное примем x( .Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует: , или , откуда . Поэтому . Исследуем эту функцию на экстремум , , Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит наибольшее значение Sпринимает в одном из концов промежутка, а именно при x=100(мм), а тогда y=60(мм) и S=6000(мм^2)

№2.Задача о скорости течения воды в трубе.

По трубе, сечение которой круг с радиусом r, течет вода. Известно, что скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу профиля сечения (заполненного водой).

Гидравлическим же радиусом профиля называется отношение площади профиля к длине смоченного (подводного) периметра профиля.

При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменных других условиях) будет наибольшей?

Решение

Воспользуемся обозначениями: - центральный угол сегмента заполнения трубы водой (в радианах) (рис 24). F-площадь этого сегмента и R- гидравлический радиус. Тогда площадь сектора ОАСВ равна , а площадь треугольника АОВ равна , или . Смоченный периметр равен , а значит, . Эта формула будет верна и в том случае, если будет больше . Вообще, может изменяться от 0 до .

Другое по теме:

Виды внеклассных мероприятий
Понятие о видах внеклассной работы. Классные занятия, как уже отмечалось, обычно проводятся с постоянным составом учащихся, но заранее определенному расписанию и носят обязательный характер. Но, наряду с обязательными учебными занятиями, вне рамок учебного дня в школах и других учебных заведениях и ...

Влияние традиции гофмановской фантастики на творчество Антония Погорельского, на примере произведения "Лафертовская маковница"
Данная повесть иногда предлагается для внеклассного чтения, чтобы дать школьникам возможность более подробно ознакомиться с творчеством Антония Погорельского, в связи с чем, нужно упомянуть об истории создания произведения, и его основе. Повесть, написанная в 1825 году и вошедшая в сборник "Дв ...

Значение подвижных игр в развитии двигательной активности детей дошкольного возраста
Формирование человека на всех этапах эволюционного развития проходило в неразрывной связи с активной мышечной деятельностью, поэтому физические нагрузки приобрели важную биологическую роль в его жизнедеятельности. Анализ научно-методической литературы, многочисленные педагогические наблюдения показ ...