Применение производной для решения практических задач

Теоретические факты:

1) Производной данной функцииназывается предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной, когда это приращение стремится к 0.

2)Если функция (имеющая производную) при принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при обращается в 0.

3) Для того чтобы функция( имеющая производную) имела при или минимум, необходимо , чтобы производная при этом значении х была равна 0.

4) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке :

-Найти критические точки, лежащие внутри отрезка, т.е. на интервале (а,b).

-Вычислить значения функции в этих точках.

-Вычислить значения функции на концах отрезка.

-Из значений функций, найденных в предыдущих пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи:

№1 Задача о прямоугольнике наибольшей площади

Из куска, стекла, имеющего указанные на рисунке 23 форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Площадь пластины . За независимое переменное примем x( .Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует: , или , откуда . Поэтому . Исследуем эту функцию на экстремум , , Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит наибольшее значение Sпринимает в одном из концов промежутка, а именно при x=100(мм), а тогда y=60(мм) и S=6000(мм^2)

№2.Задача о скорости течения воды в трубе.

По трубе, сечение которой круг с радиусом r, течет вода. Известно, что скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу профиля сечения (заполненного водой).

Гидравлическим же радиусом профиля называется отношение площади профиля к длине смоченного (подводного) периметра профиля.

При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменных других условиях) будет наибольшей?

Решение

Воспользуемся обозначениями: - центральный угол сегмента заполнения трубы водой (в радианах) (рис 24). F-площадь этого сегмента и R- гидравлический радиус. Тогда площадь сектора ОАСВ равна , а площадь треугольника АОВ равна , или . Смоченный периметр равен , а значит, . Эта формула будет верна и в том случае, если будет больше . Вообще, может изменяться от 0 до .

Другое по теме:

Профессиональная ориентация, система профессионального образования, профессиональная адаптация лиц с ограниченной трудоспособностью
Жизненное самоопределение человека с ограниченными возможностями жизнедеятельности и с ограниченными возможностями в выборе профессии, видов и форм труда. Право на профессиональную реабилитацию лиц с ограниченной трудоспособностью закреплено в Конституции Российской Федерации, а также в Федеральном ...

Диагностика состояния агрессии
Термин "агрессия" чрезвычайно часто употребляется сегодня в самом широком контексте и поэтому нуждается в серьезном "очищении" от целого ряда наслоений и отдельных смыслов. Различные авторы в своих исследованиях по-разному определяют агрессию и агрессивность: как врожденную реак ...

Сущность понятия самообразование
Самообразование – это образование, приобретаемое вне учебных заведений, путем самостоятельной работы. Основным средством самообразования является самостоятельное изучение научной, научно-популярной, учебной, политической, художественной и другой литературы. Источниками служат также газеты, радио, т ...