Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена

Теоретические факты:

Теорема.

Квадратный трехчлену=ах2+ bх + с имеет экстремальное значение, принимаемое им при

Это значение оказывается наименьшим, если а > 0, и наибольшим, если а < 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.

Задачи:

№1. Разложить данное положительное число А на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.

Решение. Обозначим одно из искомых слагаемых через х. Тогда второе слагаемое будет равно А — х, а их произведениеили.

Таким образом, вопрос привелся к нахождению такого значения х, при котором этот квадратный трёхчлен получит наибольшее значение. По теореме 4 такое значение заведомо существует (ибо здесь старший коэффициент равен — 1, т.е. отрицателен) и равно В таком случае и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу.

Например, число 30 допускает такие разложения:

Все полученные произведения меньше, чем

№2. Имеется проволока длины L. Требуется согнуть её так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий по возможности наибольшую площадь.

Решение. Обозначим (черт. 1) одну из сторон прямоугольника через х. Тогда, очевидно, другая его сторона будет а площадьили . Эта функция принимает своё наибольшее значение при, что и будет искомым значением одной из сторон прямоугольника. Тогда другая его сторона будет , т. е. наш прямоугольник оказывается квадратом. Полученное решение задачи можно резюмировать в форме следующей теоремы.

Теорема.

Из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

Замечание.

Нашу задачу легко решить также с помощью результата, полученного при решении задачи 1.

В самом деле, мы видим, что площадь интересующего нас прямоугольника есть.Иначе говоря, есть произведение двух сомножителей х и Но сумма этих сомножителей есть,т. е. число, не зависящее от выбора х. Значит, дело сводится к разложению числа на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Как мы знаем, это произведение будет наибольшим при равенстве обоих слагаемых, т.е .

№3. Из имеющихся досок можно построитъ забор длиною в 200 м. Требуется огородить этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны двора заводскую стену.

трехчлен теорема производная функция

Решение. Обозначим (черт. 2) одну из сторон двора через х. Тогда другая его сторона будет равнаа его площадь будет

Согласно теореме наибольшее значение этой функции достигается ею при

Итак, сторона двора, перпендикулярная к заводской стене, должна равняться 50 м, откуда для стороны, параллельной стене, получается значение 100 м, т. е. двор должен иметь форму половины квадрата.

Другое по теме:

Развитие школьного исторического образования, использование активных методов обучения истории конца XIX- нач. XX века
Начало XX века в мире ознаменовалось резким ростом промышленности, экономики, приобрели некую динамичность социальные и глобальные процессы. Многие европейские державы вступили на новую ступень своего развития, и Российская империя не была исключением. К этому времени в России происходит значительн ...

Методика работы над комбинаторными задачами в начальной школе
Анализ методической и нсихолого-педагогической литературы показал, что включение задач с элементами теории вероятностей и комбинаторики в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Обучение младших школьников решению стохастических задач является весьм ...

Правовое образование в системе предпрофильного обучения школьников
Базовый курс права направлен на формирование основ правовой грамотности; представлений и установок, основанных на демократических правовых ценностях; способности и готовности к сознательному и ответственному действию в сфере отношений, урегулированных правом; самостоятельному принятию правовых реше ...