Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена

Теоретические факты:

Теорема.

Квадратный трехчлену=ах2+ bх + с имеет экстремальное значение, принимаемое им при

Это значение оказывается наименьшим, если а > 0, и наибольшим, если а < 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.

Задачи:

№1. Разложить данное положительное число А на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.

Решение. Обозначим одно из искомых слагаемых через х. Тогда второе слагаемое будет равно А — х, а их произведениеили.

Таким образом, вопрос привелся к нахождению такого значения х, при котором этот квадратный трёхчлен получит наибольшее значение. По теореме 4 такое значение заведомо существует (ибо здесь старший коэффициент равен — 1, т.е. отрицателен) и равно В таком случае и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу.

Например, число 30 допускает такие разложения:

Все полученные произведения меньше, чем

№2. Имеется проволока длины L. Требуется согнуть её так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий по возможности наибольшую площадь.

Решение. Обозначим (черт. 1) одну из сторон прямоугольника через х. Тогда, очевидно, другая его сторона будет а площадьили . Эта функция принимает своё наибольшее значение при, что и будет искомым значением одной из сторон прямоугольника. Тогда другая его сторона будет , т. е. наш прямоугольник оказывается квадратом. Полученное решение задачи можно резюмировать в форме следующей теоремы.

Теорема.

Из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

Замечание.

Нашу задачу легко решить также с помощью результата, полученного при решении задачи 1.

В самом деле, мы видим, что площадь интересующего нас прямоугольника есть.Иначе говоря, есть произведение двух сомножителей х и Но сумма этих сомножителей есть,т. е. число, не зависящее от выбора х. Значит, дело сводится к разложению числа на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Как мы знаем, это произведение будет наибольшим при равенстве обоих слагаемых, т.е .

№3. Из имеющихся досок можно построитъ забор длиною в 200 м. Требуется огородить этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны двора заводскую стену.

трехчлен теорема производная функция

Решение. Обозначим (черт. 2) одну из сторон двора через х. Тогда другая его сторона будет равнаа его площадь будет

Согласно теореме наибольшее значение этой функции достигается ею при

Итак, сторона двора, перпендикулярная к заводской стене, должна равняться 50 м, откуда для стороны, параллельной стене, получается значение 100 м, т. е. двор должен иметь форму половины квадрата.

Другое по теме:

Значение языковых и речевых игр при изучении иностранного языка
Выявление структуры речевых умений, определяющих готовность учащихся к самостоятельному решению учебных и практических задач, связанных с владением иностранным языком, стало основой перехода к конструированию системы учебных игр, способной обеспечивать эффективное и качественное формирование и разв ...

Методические особенности изучения раздела «Алгоритм и исполнители»
Прежде всего необходимо сказать, что общеобразовательный стандарт по информатике является нормативным документом, определяющим требования: · к месту базового курса информатики в учебном плане школы; · к содержанию базового курса информатики в виде обязательного минимума содержания образовательной о ...

Признаки равенства треугольников
Основная идея доказательства I и II признаков равенства треугольников в учебнике Атанасяна и др. Атанасян Л.С. состоит в последовательном осуществлении наложения одного из данных треугольников на другой и доказательства совмещения их при таком наложении. В доказательстве III признака существенно ис ...