Основные понятия теории вероятностей

эксперимент состоит из n независимых испытаний;

каждое испытание имеет два исхода − наступление некоторого события А и наступление события ;

вероятность события А в каждом испытании постоянна.

Теорема. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а не появления − q. Тогда вероятность Pn(k) того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: Рn(k) = С×p×q.

Наивероятнейшее число наступления события А в п испытаниях − число k= k0 при котором вероятность Рn(k) является наибольшей.

Теорема. Если р0ир1,то наивероятнейшее число к0 можно определить из двойного неравенства: np-qkonp+p. Если np+p не является целым числом, то данное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее число. Если пр+р − целое число, то имеются два наивероятнейших значения:

k= пр-q и k= пр+ р.

Пример. Вероятность попадания в мишень при выстреле равна 0,8. Найдите: а) вероятность того, что при семи выстрелах произойдет пять попаданий в мишень; б) наивероятнейшее число k0 попаданий в мишень при семи выстрелах.

Решение. Рассматриваемый в задаче эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Пусть А − событие "Попадание в мишень при выстреле". Тогда событие означает "промах". По условию Р(А) = р = 0,8 значит,

Р()=q=1-p=0,2.

а) для нахождения пяти попаданий при семи выстрелах воспользуемся теоремой:

Р7 (5)=Сpq=7!/(5!(7-5)!)× 0,8×0,20,275;

б) наивероятнейшее число попаданий в мишень при семи выстрелах находим (согласно теореме 11) из двойного неравенства:

7×0,8-0,2k07×0,8+0,8; 5,4k06,4, то есть k0= 6. Ответ. Р(А)=0,275; k0= 6.

Случайная величина − величина, которая при каждом испытании принимает то или иное числовое значение (наперед неизвестно, какое именно), зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а возможные значения случайных величин − малыми. Так, при бросании игрального кубика происходит событие, связанное с числом х, где х − выпавшее число очков. Число очков − случайная величина, а числа 1,2,3,4, 5,6 − возможные значения этой величины. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, тоже случайная величина (зависит от установки прицела, силы и направления ветра, температуры и других факторов), а возможные значения этой величины принадлежат некоторому отрезку [а;b].

Другое по теме:

Методы и приемы обучения пониманию текста
Чтобы научить детей понимать текст, необходимо сформировать специальные читательские умения. Эти умения, сформированные в начальной школе, будут необходимы и достаточны для того, чтобы в основной школе учащиеся умели понимать и получать эстетическое удовольствие от чтения литературы разных жанров. ...

Особенности мышления учеников вспомогательной школы при решении учебных задач
Учащиеся вспомогательной школы испытывают затруднения в осуществлении мыслительных действий, необходимых для решения учебных задач. Типичным для учеников–олигофренов является применение примитивных способов решение задач, основывающихся на поверхностном анализе их условий, установлении фрагментарны ...

Особенности обучения двигательным действиям детей младшего школьного возраста
По мере созревания опорно-двигательного аппарата и центральных механизмов регуляции способность к овладению новыми движениями возрастает. Дети младшего школьного возраста сравнительно быстро адаптируются к возникающим двигательным ситуациям, требующим принятия быстрого решения и исполнения. Скорост ...