Геометрические задачи на экстремум

Если обратиться к геометрическим задачам на экстремумы, решаемым с помощью геометрических средств, то окажется, что используемые здесь приемы особенно разнообразны. Для нахождения экстремумов геометрических величин могут быть использованы многие теоремы геометрии.

Задачи:

№1.Дан угол ABC и внутри него точка D. Требуется построить треугольник, две вершины которого лежали бысоответственно на сторонах данного угла, а третьей вершиной была бы точка D и который имел бы наименьший периметр.

Решение:

Возьмем произвольный треугольник DКL, две вершины которого лежат соответственно на сторонах ВА и ВС, а третьей вершиной служит точка D (рис. 8). Построим точки Е и F симметричные точке D относительно сторон угла ВА и ВС, и соединим отрезками прямой эти точки соответственно с вершинами К и L треугольника. Так как КЕ = KD и LF = LD, то длина ломаной EKLF равна периметру треугольника DKL. Но нас интересует треугольник с наименьшим периметром, а наименьшим будет периметр, равный длине отрезка EF. Поэтому вершины и искомого треугольника определяются как точки пересечения прямой EF со сторонами данного угла.

№2) В треугольник, основание которого равно b, а высота равна h, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что основание треугольника и одна из сторон прямоугольника лежат на одной прямой. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение. Пусть PMNK (рис. 1) - прямоугольник, вписанный в треугольник ABC с основанием АС, равным b (причем сторона РК прямоугольника и сторона АС треугольника лежат на одной прямой). Пусть BD - высота треугольника - равна h, стороны прямоугольника РМ и MN равны х и у соответственно, a. Тогда имеем ху = S (1). Из подобия треугольников MNB и АСВ имеемили (2).

Исключая у из уравнений (1) и (2), получаем

Так как постоянно, то S будет принимать наибольшее значение при том же значении х, при котором значение выражения x(h - x) является наибольшим. Произведение x(h - x), состоящее из двух переменных множителей, имеющих постоянную сумму h, будет принимать наибольшее значение тогда, когда эти множители будут равны, т.е. когда , откуда . = —h. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна , а другая сторона прямоугольника равна . Тогда площадь прямоугольника PMNK равна .

Другое по теме:

Особенности двигательной активности детей старшего дошкольного возраста
Двигательная активность - средство полноценного развития и полготовки детей. Движения принадлежат к фундаментальным и сложным явлением природы. С философских позиций движение подчеркивает диалектическое единство живой и неживой природы. Движение привлекало к себе внимание видных ученых самых различ ...

Особые образовательные потребности и содержание специального образования
« .Процесс развития дефективного ребенка, — писал Л. С. Выготский в 1929 г., — двояким образом социально обусловлен: социальная реализация дефекта (чувство малоценности) есть одна сторона социальной обусловленности развития, социальная направленность компенсации (курсив наш. — Н. Н.) на приспособле ...

Содержание деятельности по интеллектуально-творческому развитию учащихся
Организационные условия: создание творческой группы учителей – руководителей исследовательских работ. Информационные условия: 1 – создание каталога публикаций по организации исследовательской деятельности; 2 – создание базы данных одарённых детей и детей, занимающихся исследовательской работой; 3 – ...