Геометрические задачи на экстремум

Если обратиться к геометрическим задачам на экстремумы, решаемым с помощью геометрических средств, то окажется, что используемые здесь приемы особенно разнообразны. Для нахождения экстремумов геометрических величин могут быть использованы многие теоремы геометрии.

Задачи:

№1.Дан угол ABC и внутри него точка D. Требуется построить треугольник, две вершины которого лежали бысоответственно на сторонах данного угла, а третьей вершиной была бы точка D и который имел бы наименьший периметр.

Решение:

Возьмем произвольный треугольник DКL, две вершины которого лежат соответственно на сторонах ВА и ВС, а третьей вершиной служит точка D (рис. 8). Построим точки Е и F симметричные точке D относительно сторон угла ВА и ВС, и соединим отрезками прямой эти точки соответственно с вершинами К и L треугольника. Так как КЕ = KD и LF = LD, то длина ломаной EKLF равна периметру треугольника DKL. Но нас интересует треугольник с наименьшим периметром, а наименьшим будет периметр, равный длине отрезка EF. Поэтому вершины и искомого треугольника определяются как точки пересечения прямой EF со сторонами данного угла.

№2) В треугольник, основание которого равно b, а высота равна h, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что основание треугольника и одна из сторон прямоугольника лежат на одной прямой. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение. Пусть PMNK (рис. 1) - прямоугольник, вписанный в треугольник ABC с основанием АС, равным b (причем сторона РК прямоугольника и сторона АС треугольника лежат на одной прямой). Пусть BD - высота треугольника - равна h, стороны прямоугольника РМ и MN равны х и у соответственно, a. Тогда имеем ху = S (1). Из подобия треугольников MNB и АСВ имеемили (2).

Исключая у из уравнений (1) и (2), получаем

Так как постоянно, то S будет принимать наибольшее значение при том же значении х, при котором значение выражения x(h - x) является наибольшим. Произведение x(h - x), состоящее из двух переменных множителей, имеющих постоянную сумму h, будет принимать наибольшее значение тогда, когда эти множители будут равны, т.е. когда , откуда . = —h. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна , а другая сторона прямоугольника равна . Тогда площадь прямоугольника PMNK равна .

Другое по теме:

Оценка эффективности использования аудиовизуальных средств обучения при изложении нового материала по информатике
Аудиовизуальные средства обучения обладают большими возможностями в отображении информации, значительно отличающимися от привычных, и оказывают непосредственное влияние на мотивацию обучаемых, скорость восприятия материала, утомляемость и, таким образом, на эффективность учебного процесса в целом. ...

Наблюдение - ведущий метод изучения природы
Наблюдение - это целенаправленное восприятие предметов и явлений природы, в процессе, которого выделяют общие и отличительные признаки, устанавливают закономерность и на основе этого делают определения, выводы и обобщения. Наблюдение как один из основополагающих методов обучения по природоведению и ...

Подвижные игры и их роль в развитии детей старшего дошкольного возраста
Игра была спутником человека с незапамятных времен. Прогрессивные русские ученые – педагоги, гигиенисты (П.Ф. Лесгафт, А.П. Усова и многие другие) раскрыли роль игры как деятельности, способствующей качественным изменениям в физическом и психическом развитии ребенка, оказывающей разностороннее влия ...