Применение производной для решения практических задач

Найдем R’ и составим уравнение для нахождения критических значений . Получаем

Но , поэтому , или . Полученное уравнение может быть решено графически. Единственный корень его .

Нетрудно сообразить, что производная от R ,равнаяпри переходе через , меняет знак с + на - .Значит, при скорость течения будет наибольшей.

№3 Задача Ферма

Пусть точки А и В лежат в двух оптически разных средах, разделенных прямой CD (рис. 28), и луч света из А должен пройти в В. Пусть, далее, скорость света в среде, где находится точка А, равна , а в другой среде — . В какой точке луч должен пересечь прямую CD?

Чтобы решить эту задачу, мы должны будем воспользоваться известным принципом Ферма, утверждающим, что свет идет из одной точки в другую по такому пути, для прохождения которого требуется наименьшее время.

-время в течении которого луч света пройдет единицу пути в среде , содержащей точку А, а - время прохождения единицы пути в среде, содержащей B. Отсюда , где-угол падения луча и -угол преломления его.

Найденное соотношение выражает известный в оптике закон преломления света, называемый часто законом Снеллиуса.

Другие практические задачи на экстремум:

1)Из бревна цилиндрической формы, диаметр которого D, надо изготовить балку с прямоугольным поперечным сечением наибольшей площади. Какие размеры должно иметь поперечное сечение?

2) Какой формы должен быть прямоугольный участок земли данной площади, чтобы длина ограничивающей его изгороди была наименьшей.

3)Заготовлен материал для устройства изгороди длиною l м. Этой изгородью должна быть обнесена прямоугольная площадка, примыкающая к стене здания. Какой должна быть эта площадка, чтобы она имела наибольшую площадь?

4)Сооружается палатка конусообразной формы. Для этого используются шесты длиной Lм. Какой высоты должна быть палатка, чтобы она была наиболее вместительной.

5)Из трех прямоугольных кусков жести изготовляется закрытая цилиндрическая банка данной емкости. Каким должно быть отношение диаметра основания банки к ее высоте, чтобы используемые куски жести имели наименьшую площадь.

Другое по теме:

Понятие становления личности
Становление личности происходит в процессе усвоения людьми опыта и ценностных ориентации данного общества, что называется социализацией. Человек учится выполнять особые социальные роли, т.е. учится вести себя в соответствии с ролью ребенка, студента, служащего, супруга, родителя и т.д. Социальная л ...

Формирование вероятностного прогнозирования в онтогенезе
Вообще такая способность человека как прогнозирование, антиципация, упреждающий синтез, догадка проявляется в разных видах деятельности человека, это и мыслительная деятельность, и речевая, и учебная, и профессиональная. То есть понятие прогнозирование масштабно по своему значению в жизни человека. ...

Особенности физического развития учащихся 13-14 лет
Физическое развитие отражает процессы роста и развития организма на отдельных этапах индивидуального развития. Особенности физического развития и телосложения человека в значительной мере зависят от его конституции. Физическое развитие является одним из показателей уровня здоровья населения. Процес ...