Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена

Замечание. Если бы мы и здесь захотели использовать результат решения задачи 1, то непосредственно это нам бы не удалось, ибоесть произведение двух сомножителей, сумма которых равна 200 — х, т. е. зависит от х. Иначе говоря, мы не находимся в условиях задачи 1. Однако с помощью небольшого ухищрения можно всё же свести дело к задаче 1. В самом деле, рассмотрим вместо S величину z = 2S. Так как,то эта функция есть произведение двух сомножителей, сумма которых уже не зависит от х и, стало быть, z(макс) достигается при откуда х = 50.

№4. Дан квадрат ABCD (черт. 3). От его вершины отложены равные отрезки Аа, Bb, Cc, Dd и точки а, Ь, с, d соединены прямыми. При каком значении Аа площадь квадрата abсd окажется наименьшей?

Решение. Если положить то, очевидно, окажется и, стало быть, по теореме Пифагора будет

Но площадь S квадрата abсd как раз и равна , S=. Поэтому наименьшее значение для S получится при Таким образом, точки а, b, с и d нужно поместить в серединах сторон основного квадрата ABCD.

№ 5. Из точек А и В (черт. 4) по указанным стрелками направлениям выходят одновременно пароход и яхта. Их скорости соответственно равны 40 км/час и 16 км/час. Через сколько времени расстояние между ними окажется наименьшим, если AB = 145 км?

Решение.

Отметим буквами П и Я положение парохода и яхты через t часов после выхода из точек A и В. Тогдаи поэтому на основании теоремы Пифагора

Наименьшее своё значение этот корень примет при том же самом t, при котором будет иметь наименьшее значение подкоренное выражение, т.е. при

Итак, пароход и яхта окажутся на кратчайшем расстоянии друг от друга через 3 часа 7 минут 30 секунд после выхода из точек А и В.

№ 6. В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади.[2]

Решение.

Обозначим через R радиус круга, а через х сторону АВ искомого прямоугольника (черт. 5). По теореме Пифагора окажется , откуда для интересующей нас площади S получается выражение . Эта функция достигает своего наибольшего значения при том же самом х, что и функция . Но.Полагая получим

Значит у(макс) достигается при ,т.е. при Замечая, что при , мы видим, что искомый прямоугольник должен быть квадратом.

С использованием теоремы о квадратном трехчлене можно также решить следующие задачи:

1) В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

2) В данный конус вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

Другое по теме:

Методика организации работы по исторической карте
Исторические события происходят как во времени, так и в пространстве. Лишь в связи с определенными пространственными условиями могут быть поняты многие исторические события. Отнесение событий к конкретному пространству и описание географической среды, в которой оно произошло, называется локализацие ...

Прогноз положительных результатов реализации программы
1) повышение качества обучения, которое может быть выражено: • увеличением количества учащихся, занимающихся на «4» и «5»; • увеличением количества участников и победителей городских, областных, всероссийских исследовательских конференций, конкурсов; • увеличением количества победителей предметных ...

Анализ содержания темы "Многоугольники" в школьных учебниках геометрии
В курсе геометрии 7-9 классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин характеризующих плоский многоугольник. Курс геометрии 7 класса - это, по существу, геометрия треугольника. Основное ...