Основные понятия теории вероятностей

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число её возможных значений может быть конечным и бесконечным. Для данной случайной величины множество возможных значений счетно, благодаря чему можно описать её рядом распределения, т.е. набором вероятностей Р(Х= х), где х приобретает множество возможных значений.

Однако существуют (хотя бы в теоретическом плане) случайные величины, у которых множество значений не является счетным, более того, заполняет некоторый сплошной промежуток. Такие величины называются непрерывными, их невозможно описать рядом распределения и приходится для их описания использовать другие способы. Вместо вероятностей P(Х=x) приходится использовать вероятности Р(Х< х), где х есть произвольное число. Так возникает функция F(x) - P(Х < x), определенная на множестве R всех чисел, а значение этой функции в точке х есть вероятность Р(Х < х). Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины Х, она полностью определяет Х, в частности, с ее помощью можно находить интересующие нас вероятности.

Случайная величина имеет несколько характеристик, одной из которых является закон распределения, полностью характеризующий её. Однако в ряде случаев, когда закон распределения неизвестен, можно обойтись несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению случайной величины, и дисперсия, показывающая, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины X(М(Х)) − сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е.

М(Х) = х1р1 +х2р2+ .+ xnpn=хipi .

Теорема. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной, т.е. М(С) = С.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

М(СХ) = СМ(Х).

Теорема. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

М(А1,А2, ,Ап) = М(А1) М(А2)× .× М(Аn).

Теорема. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

М(А1 + А2 + . +Аn) = M(А1)+M(А2) + . +M(Ап).

Дисперсия случайной величины X(D(X)) − математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

D(X) = М[Х-М(Х)]2.

комбинаторика теория вероятность стохастический

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания, т.е.

D(X)=M(X2)-[M(X)]2.

Эту формулу обычно используют на практике для вычисления дисперсии. Здесь X2 − случайная величина, возможные значения которой равны квадратам возможных значений величины X, а вероятности возможных значений X совпадают с соответствующими вероятностями значений X.

Теорема. Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е. D(C) = 0.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е.

D(CX)= С2D(X).

Теорема. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть

Другое по теме:

Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов. Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ). Можно построить функцию: , , область определения кот ...

Туристические игры
"Меж двух огней". Игра проводится на волейбольной площадке (без сетки). Капитаны становятся за лицевыми линиями площадки, а игроки их команд - на противоположной ее половине. Таким образом, каждая команда находится как бы меж двух огней. По жребию один из капитанов вводит мяч (волейбольны ...

Правильное питание
Тело ребенка постоянно растет с момента рождения и до двадцатилетнего возраста. Питательные вещества, мы получаем с пищей, которые играют в процессе роста различную роль. Одни питательные вещества являются строительным материалом для роста мышц, костей и всех других частей тела. Из других организм ...