Основные понятия теории вероятностей

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число её возможных значений может быть конечным и бесконечным. Для данной случайной величины множество возможных значений счетно, благодаря чему можно описать её рядом распределения, т.е. набором вероятностей Р(Х= х), где х приобретает множество возможных значений.

Однако существуют (хотя бы в теоретическом плане) случайные величины, у которых множество значений не является счетным, более того, заполняет некоторый сплошной промежуток. Такие величины называются непрерывными, их невозможно описать рядом распределения и приходится для их описания использовать другие способы. Вместо вероятностей P(Х=x) приходится использовать вероятности Р(Х< х), где х есть произвольное число. Так возникает функция F(x) - P(Х < x), определенная на множестве R всех чисел, а значение этой функции в точке х есть вероятность Р(Х < х). Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины Х, она полностью определяет Х, в частности, с ее помощью можно находить интересующие нас вероятности.

Случайная величина имеет несколько характеристик, одной из которых является закон распределения, полностью характеризующий её. Однако в ряде случаев, когда закон распределения неизвестен, можно обойтись несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению случайной величины, и дисперсия, показывающая, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины X(М(Х)) − сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е.

М(Х) = х1р1 +х2р2+ .+ xnpn=хipi .

Теорема. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной, т.е. М(С) = С.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

М(СХ) = СМ(Х).

Теорема. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

М(А1,А2, ,Ап) = М(А1) М(А2)× .× М(Аn).

Теорема. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

М(А1 + А2 + . +Аn) = M(А1)+M(А2) + . +M(Ап).

Дисперсия случайной величины X(D(X)) − математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

D(X) = М[Х-М(Х)]2.

комбинаторика теория вероятность стохастический

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания, т.е.

D(X)=M(X2)-[M(X)]2.

Эту формулу обычно используют на практике для вычисления дисперсии. Здесь X2 − случайная величина, возможные значения которой равны квадратам возможных значений величины X, а вероятности возможных значений X совпадают с соответствующими вероятностями значений X.

Теорема. Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е. D(C) = 0.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е.

D(CX)= С2D(X).

Теорема. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть

Другое по теме:

История становления и развития национальных систем специального образования
Развитие национальных систем специального образования во все исторические периоды связано с социально-экономическим устройством страны, ценностными ориентациями государства и общества, политикой государства по отношению к детям с отклонениями в развитии, законодательством в сфере образования в цело ...

Планы-конспекты занятий по формированию элементарных математических представлений
Занятие 1 Задачи: - развивать у детей мелкую моторику кистей рук; - развивать интеллектуальные способности детей; - развивать речь, внимание, память, логическое мышление. Цели урока: 1. Формировать навыки ориентации по элементарному плану, умение правильно определять взаимное расположение предметов ...

Задачи по теме "Многоугольники" в материалах ЕГЭ по математике
Задачи по теме "Многоугольники" традиционно встречаются на выпускных экзаменах и в 9 классах и в 11 классах. С 2008 года математика включена в список предметов, по которым государственная итоговая аттестация по курсу основной школы стала проводиться в новой форме. Особенности содержания и ...