Основные комбинаторные понятия

Комбинаторика (или теория соединений) - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика решает задачи выбора и расположения элементов, обычно конечного множества в соответствии с заданными условиями.

Решение большинства комбинаторных задач основано на двух основных правилах, которые называют правилами суммы и произведения.

Правило суммы. Если объект а можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, отличными от способа выбора объекта a, то выбор «либо a, либо b » можно осуществить m+k способами. Правило суммы распространяется на тот случай, когда число попарно непересекающихся множеств более двух.

Правило произведения. Если объект а можно выбрать n способами, и если после каждого такого выбора объект b можно выбрать m способами, то выбор «a и b » можно осуществить n m способами. Правило произведения распространяется на случай выбора кортежа любой длины.

Факториал – функция, определённая на множестве целых неотрицательных чисел, значение которой равно произведению натуральных чисел от 1 до донного числа n, т.е. 1 2 3 … n; обозначается n!; по определению 0! = 1, 1! = 1.

Кортежи длины n, составленные из различных элементов n – элементного множества, называются перестановками без повторений и обозначают символом Р.

Теорема. Число различных перестановок из n элементов равно произведению последних натуральных чисел от 1 до n включительно, то есть

Р = 1 2 3 … n = n!

Всякое упорядоченное k – элементное подмножество n – элементного множества ( k n ) называется размещением из n элементов по k и обозначают символом А.

Теорема. Число различных размещений из n элементов по k равно произведению k последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является n, то есть

А = n ( n - 1 ) ( n – 2 ) … ( n – k + 1 ) или А = .

Всякое k – элементное подмножество n – элементного множества (kn) называется сочетанием из n элементов по k и обозначают символом C.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по k элементов определяется по формуле:

C = .

Размещением с повторениями из k элементов по m элементов – это кортеж, составленный из m элементов k-элементного множества.

Число всевозможных размещений с повторениями из k элементов по m элементов обозначают и подсчитывают по формуле

.

Набор из n элементов, составленный из повторяющихся элементов m элементного множества, называется сочетанием с повторениями из m по n и обозначают символом .

Другое по теме:

Развитие воображения у детей
Рассматривая вопрос о развитии воображения, необходимо иметь в виду, что развивающееся воображение влияет на формирование личности ребенка, ее моральных качеств, способностей. С другой стороны, складывающиеся в процессе развития свойства личности – ее характер, способности, направленность интересов ...

Основные принципы и задачи непрерывного образования
В основе функционирования непрерывного образования лежат следующие принципы, определяющие его специфику: гуманизма, демократизма, мобильности, опережения, открытости, непрерывности. Принцип гуманизма свидетельствует об обращенности образования к человеку, о свободе выбора личностью форм, сроков, ви ...

Вокальное воспитание в хоре. Понятие вокально-хоровых навыков
Вокальное воспитание в хоре — важнейшая часть всей хоровой работы с детьми. Основное условие правильной постановки вокального воспитания — подготовленность руководителя для занятий пением с младшими школьниками. Идеальным вариантом становится тот случай, когда хормейстер обладает красивым голосом. ...