Педагогика и воспитание » Экстремальные задачи на внеклассных мероприятиях в школе » Планирование факультатива

Планирование факультатива

Страница 2

Задачи: повторить методику решения задач на максимум и минимум с помощью производной, прорешать основные типы задач на использование этого метода.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока

Содержание

Методы и приемы

Время

1. Орг. момент

Сообщение цели урока

Инструктаж учителя

7 мин

2. Изучение нового материала

1.Суть метода.

2. Пример решения задачи с помощью дифференцирования.

Лекция (объяснительно-иллюстративный с элементами проблемного изложения)

Учащиеся конспектируют, задают вопросы.

16 мин

3.Закрепление пройденного материала.

Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый)

31 мин

4. Подведение итогов

беседа

2 мин

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I. Орг. момент.

Здравствуйте, садитесь.

На протяжении нескольких занятий мы с вами решаем экстремальные задачи. Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось "изобретать" подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ.

Садятся.

Слушают учителя, отвечают на его вопросы.

II. Лекция.

1. Суть метода.

Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма.

Если функция у = f(х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.

Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов.

Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума:

Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0.

Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у' = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.2). Значит, уравнение f '(х) = 0 дает лишь "подозрительные" на экстремум значения х.

Как же из этих "подозрительных" значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы?

Как для выделенных значений установить вид экстремума?

По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во втором- тупой.

Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли "подозрительная" точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице.

х0+Δх, Δх<0

х0

х0+Δх

Поведение f(x)

f '(x)

f '(x)

f '(x)

f '(x)

+

-

+

-

0

0

0

0

-

+

+

-

максимум

минимум

возрастает (экстремума нет)

убывает (экстремума нет)

Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы.

Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в "подозрительной" точке х0 производная второго порядка f ''(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение.

Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример.

2. Пример решения задачи.

Пример: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади)

Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Площадь пластины S = xy. За независимое переменное примем х(0<х≤100). Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует:

Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).

Ученики конспектируют, задают вопросы

Слушают учителя, записывают решение в

тетрадь, задают возникающие вопросы.

III Закрепление пройденного материала.

Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.

Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.

Учащиеся берут карточки с заданиями и

Преступают к

решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю.

IV Подведение итогов

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.

Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть)

Задают вопросы, которые остались непонятными

V Запись домашнего задания

Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, до решать задачи своей карточки.

Записывают.

Зад

Страницы: 1 2 3


Другое по теме:

Педагогические основы нравственного воспитания
Нравственность является составной частью комплексного подхода к воспитанию личности. «Формирование нравственности есть не что иное, как перевод моральных норм, правил и требований в знания, навыки и привычки поведения личности и их неуклонное соблюдение», — считает И.Ф. Харламов . Термин «нравствен ...

Роль физических упражнений в двигательной деятельности школьников
Физические упражнения оказывают огромное влияние на двигательную деятельность школьников. Согласно комплексной программе по физическому воспитанию школьники должны овладеть основами рационального выполнения техники основных поз, положений, элементарных движений, и целостных двигательных действий, н ...

Становление и развитие программы Интел «Обучение для будущего» в ГБОУ СПО РМЭ «Оршанский педагогический колледж им.И.К. Глушкова»
INTEL "Обучение для будущего" ведется в Оршанском педагогическом колледже с 2006 года. Работа обучающей площадки Программы на базе нашего колледжа началась с обучения 12 тьюторов. С 2006 - 2012 годы существования площадки обучено более 1000 человек, среди них преподаватели колледжа, учите ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edubrilliant.ru