Педагогика и воспитание » Экстремальные задачи на внеклассных мероприятиях в школе » Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом

Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом

Страница 1

Теоретические факты:

Теорема.

Пусть - неотрицательные числа и n- натуральное число. Тогда .Здесь равенство имеет место тогда и только тогда когда .

Следствия из теоремы:

1) произведение nнеотрицательных сомножителей (сумма которых постоянна) принимает наибольшее значение, когда все эти сомножители равны.

2)сумма неотрицательных слагаемых, произведение, которых постоянно, принимает наименьшее значение, когда все слагаемые равны.

3) Функция в которой независимая переменная х принимает только положительные значения) достигает своего наименьшего значения при и только при этом значении х.

Задачи:

№1.Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?[5]

Решение: Преобразуем многочлен так:

И обозначим 2-х через у. По теореме

Отсюда следует что наибольшее значение многочлена равно 1, и оно достигается, если х=2-х, то есть при =1( нетрудно проверить, что х и 2-х не могут быть оба отрицательными; поскольку мы ищем наибольшее значение, достаточно рассматривать их лишь тогда, когда они оба положительны).

В школе эту задачу, возможно, решить методом выделения полного квадрата

№2. Какое наименьше значение может иметь выражение для положительных значений х?

Решение: Обозначим через y , тогда по теореме

Итак, наименьшее значение равно 2, оно достигается при .

Эту задачу, также как и предыдущую можно решить с помощью выделения полного квадрата

№3 Найти наименьшее значение выражения для положительных значений х , если a и b положительны, а m и n –натуральные числа.

Решение:

Представим данное выражение следующим образом

Где взято m-раз, а взято n- раз. Тогда по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Равенство достигается при, то есть при или

Итак, наименьшее значение данного выражения равно

№4 Практическая задача:

Из квадратного листа жести со стороной а сделать ящик наибольшего возможного объема, открытый сверху, вырезая равные квадраты по углам и загибая затем жесть так, чтобы образовать бока ящика (см.рис 1)

Решение:

Пусть сторона каждого из вырезаемых квадратов равна x(см.рис. 2),найдем объем ящика. Применяя теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом получаем

Следовательно,

Равенство достигается при , то есть

№5 На вертикальной стене висит плакат АВ. На каком расстоянии о стены должен стоять наблюдатель, чтобы угол (, под которым он видит плакат, оказался наибольшим?

Решение:

Обозначим через точку К точку пересечения стены с горизонтальной прямой, проходящей через глаз О наблюдателя(черт.9).Тогда искомое расстояние есть ОК. Обозначим его через х положимЕсли углы КОА и КОВ обозначить через , то очевидно что

Страницы: 1 2


Другое по теме:

Конспект урока по теме: «S-элементы и их соединения с элементами экологизации»
Цель: изучить общую характеристику S-элементов ПСХЭ Задачи: Образовательные: 1. изучить общую характеристику S-элементов 2. раскрыть химизм действия важных лекарственных препаратов, биологической роли s-элементов 3. прогнозировать токсичность действия соединений s-элементов. Развивающие: 1.закрепит ...

Средства и методы развития быстроты движений
Быстрота – это комплекс свойств, непосредственно определяющих скоростные характеристики движения, а также время двигательной реакции. Быстрота движений обусловливается в первую очередь соответствующей деятельностью коры головного мозга, подвижностью нервных процессов, вызывающих сокращение, напряже ...

Анализаторы человека
Анализатор - подсистема центральной нервной системы, обеспечивающая приём и первичный анализ информации. Периферийная часть анализатора -рецептор, центральная часть анализатора - мозг. Зрение имеет для человека первостепенное значение. Зрительный анализатор позволяет получить представление о предме ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edubrilliant.ru