Педагогика и воспитание » Экстремальные задачи на внеклассных мероприятиях в школе » Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом

Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом

Страница 1

Теоретические факты:

Теорема.

Пусть - неотрицательные числа и n- натуральное число. Тогда .Здесь равенство имеет место тогда и только тогда когда .

Следствия из теоремы:

1) произведение nнеотрицательных сомножителей (сумма которых постоянна) принимает наибольшее значение, когда все эти сомножители равны.

2)сумма неотрицательных слагаемых, произведение, которых постоянно, принимает наименьшее значение, когда все слагаемые равны.

3) Функция в которой независимая переменная х принимает только положительные значения) достигает своего наименьшего значения при и только при этом значении х.

Задачи:

№1.Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?[5]

Решение: Преобразуем многочлен так:

И обозначим 2-х через у. По теореме

Отсюда следует что наибольшее значение многочлена равно 1, и оно достигается, если х=2-х, то есть при =1( нетрудно проверить, что х и 2-х не могут быть оба отрицательными; поскольку мы ищем наибольшее значение, достаточно рассматривать их лишь тогда, когда они оба положительны).

В школе эту задачу, возможно, решить методом выделения полного квадрата

№2. Какое наименьше значение может иметь выражение для положительных значений х?

Решение: Обозначим через y , тогда по теореме

Итак, наименьшее значение равно 2, оно достигается при .

Эту задачу, также как и предыдущую можно решить с помощью выделения полного квадрата

№3 Найти наименьшее значение выражения для положительных значений х , если a и b положительны, а m и n –натуральные числа.

Решение:

Представим данное выражение следующим образом

Где взято m-раз, а взято n- раз. Тогда по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Равенство достигается при, то есть при или

Итак, наименьшее значение данного выражения равно

№4 Практическая задача:

Из квадратного листа жести со стороной а сделать ящик наибольшего возможного объема, открытый сверху, вырезая равные квадраты по углам и загибая затем жесть так, чтобы образовать бока ящика (см.рис 1)

Решение:

Пусть сторона каждого из вырезаемых квадратов равна x(см.рис. 2),найдем объем ящика. Применяя теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом получаем

Следовательно,

Равенство достигается при , то есть

№5 На вертикальной стене висит плакат АВ. На каком расстоянии о стены должен стоять наблюдатель, чтобы угол (, под которым он видит плакат, оказался наибольшим?

Решение:

Обозначим через точку К точку пересечения стены с горизонтальной прямой, проходящей через глаз О наблюдателя(черт.9).Тогда искомое расстояние есть ОК. Обозначим его через х положимЕсли углы КОА и КОВ обозначить через , то очевидно что

Страницы: 1 2


Другое по теме:

Сущность понятия самообразование
Самообразование – это образование, приобретаемое вне учебных заведений, путем самостоятельной работы. Основным средством самообразования является самостоятельное изучение научной, научно-популярной, учебной, политической, художественной и другой литературы. Источниками служат также газеты, радио, т ...

Система упражнений комбинаторного характера
Обучение решению комбинаторных задач проходит в три этапа, которые описаны во второй главе. На 1 этапе могут быть предложены следующие задачи. У Маши было 3 цветка: фиалка, нарцисс и тюльпан. Она выкопала три лунки. Нарисуй, как по-разному можно посадить эти цветы, если лунки расположены в один ряд ...

Профессиональная ориентация, система профессионального образования, профессиональная адаптация лиц с ограниченной трудоспособностью
Жизненное самоопределение человека с ограниченными возможностями жизнедеятельности и с ограниченными возможностями в выборе профессии, видов и форм труда. Право на профессиональную реабилитацию лиц с ограниченной трудоспособностью закреплено в Конституции Российской Федерации, а также в Федеральном ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edubrilliant.ru